京都大学 2016年 理系 第3問 解説

方針・初手

• 「外心」という条件をどのように数式や図形の性質に落とし込むかがポイントです。外心とは「三角形の 3 頂点からの距離が等しい点」です。
• ある頂点から対面に下ろした垂線と、その対面上の 3 頂点を結ぶと、3 つの直角三角形ができます。これらに三平方の定理を適用して辺の長さを比較する幾何的なアプローチが非常に簡潔です。
• または、ベクトルを用いて「垂線と平面上のベクトルの内積が 0」と「外心の位置ベクトルの性質」を立式し、内積やベクトルの大きさを比較する代数的なアプローチも有効です。

解法1

頂点 A から平面 OBC に下ろした垂線の足を $H_A$ とする。

条件より $H_A$ は $\triangle OBC$ の外心であるから、点 $H_A$ から $\triangle OBC$ の 3 頂点 O, B, C までの距離は等しい。

すなわち、$H_A\text{O} = H_A\text{B} = H_A\text{C}$ が成り立つ。

また、直線 $AH_A$ は平面 OBC に垂直であるから、平面 OBC 上の任意の直線と垂直である。特に、$AH_A \perp H_A\text{O}$、$AH_A \perp H_A\text{B}$、$AH_A \perp H_A\text{C}$ となる。

したがって、$\triangle AOH_A$、$\triangle ABH_A$、$\triangle ACH_A$ はすべて $\angle H_A = 90^\circ$ の直角三角形である。

これら 3 つの直角三角形に対して三平方の定理を用いると、

$$ AO^2 = AH_A^2 + H_A\text{O}^2, \quad AB^2 = AH_A^2 + H_A\text{B}^2, \quad AC^2 = AH_A^2 + H_A\text{C}^2 $$

ここで $H_A\text{O} = H_A\text{B} = H_A\text{C}$ であるから、

$$ AO^2 = AB^2 = AC^2 \implies OA = AB = AC $$

同様に、頂点 B から平面 OAC に下ろした垂線の足を $H_B$ とすると、$H_B$ は $\triangle OAC$ の外心であり、$\triangle BOH_B$、$\triangle BAH_B$、$\triangle BCH_B$ に三平方の定理と $H_B\text{O} = H_B\text{A} = H_B\text{C}$ を適用すると、

$$ OB = AB = BC $$

さらに、頂点 C から平面 OAB に下ろした垂線の足を $H_C$ とすると、$H_C$ は $\triangle OAB$ の外心であり、同様の議論から、

$$ OC = AC = BC $$

以上より得られた 3 つの関係式をすべて合わせると、

$$ OA = OB = OC = AB = BC = CA $$

四面体 OABC の 6 つの辺の長さがすべて等しいため、四面体 OABC は正四面体である。$\square$

解法2

$\vec{a} = \vec{OA}$、$\vec{b} = \vec{OB}$、$\vec{c} = \vec{OC}$ とする。

頂点 A から平面 OBC に下ろした垂線の足を $H_A$ とする。

直線 $AH_A$ は平面 OBC に垂直であるから、$\vec{AH_A} \cdot \vec{b} = 0$、$\vec{AH_A} \cdot \vec{c} = 0$ が成り立つ。

また、$H_A$ は $\triangle OBC$ の外心であるから、$H_A$ は線分 OB、線分 OC の垂直二等分面上にある。ゆえに、

$$ \vec{OH_A} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2, \qquad \vec{OH_A} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}|\vec{c}|^2 $$

$\vec{AH_A} = \vec{OH_A} - \vec{a}$ であるから、

$$ (\vec{OH_A} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 $$

$$ (\vec{OH_A} - \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}|\vec{c}|^2 $$

同様に、頂点 B から平面 OAC へ下ろした垂線についての条件から、

$$ \vec{b} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2, \qquad \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}|\vec{c}|^2 $$

頂点 C から平面 OAB へ下ろした垂線についての条件から、

$$ \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2, \qquad \vec{c} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 $$

これらより、

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 \implies |\vec{a}| = |\vec{b}| $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}|\vec{c}|^2 = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 \implies |\vec{a}| = |\vec{c}| $$

したがって $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = l$ とおくと、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \dfrac{l^2}{2}$ である。

各辺の長さを調べると、

$$ OA = OB = OC = l $$

$$ AB^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = l^2 - l^2 + l^2 = l^2 \implies AB = l $$

同様に対称性より $BC = CA = l$ も成り立つ。

すべての辺の長さが $l$ で等しいため、四面体 OABC は正四面体である。$\square$

解説

空間図形の証明問題ですが、図形的な性質（直角三角形と三平方の定理）に着目すると、驚くほどあっさりと示すことができます。「外心」という情報を「各頂点からの距離が等しい」と言い換えることがカギです。

ベクトルを用いた解法2は、外心のベクトル的性質 $\vec{OH} \cdot \vec{x} = \dfrac{1}{2}|\vec{x}|^2$（H が外心、$\vec{x}$ が頂点へのベクトル）を知っていると、機械的な計算だけで完答できるため、試験本番では非常に心強い解法となります。

答え

（証明は解答参照）四面体 OABC のすべての辺の長さが等しいことが示されたため、四面体 OABC は正四面体である。