京都大学 1976年 理系 第6問 解説

方針・初手

袋 $U_1$ と袋 $U_2$ のそれぞれが選ばれた場合に、どのような玉の出方をすると「誤った判断」になるのかを整理する。

取り出す玉は3個であり、「赤玉の数が白玉の数より多い」というのは「赤玉が2個以上、白玉が1個以下」と同値である。逆に「そうでない」というのは「赤玉が1個以下、白玉が2個以上」と同値である。

誤った判断を下すのは、以下の2つの排反な事象の和事象である。

• 袋 $U_1$ を手渡されたが、取り出した玉が「赤玉1個以下」であったため、袋 $U_2$ と判断してしまう場合
• 袋 $U_2$ を手渡されたが、取り出した玉が「赤玉2個以上」であったため、袋 $U_1$ と判断してしまう場合

それぞれの確率を $n$ を用いて立式し、極限 $\lim_{n \to \infty} p_n$ を計算する。極限を考えるため、十分大きな $n$（具体的には $n \geqq 3$）について考える。

解法1

手渡された袋が $U_1$ である事象を $A_1$、袋が $U_2$ である事象を $A_2$ とする。 条件より、それぞれの確率は以下の通りである。

$$ P(A_1) = \frac{2}{3}, \quad P(A_2) = \frac{1}{3} $$

また、手渡された袋から玉を3個取り出したとき、赤玉が白玉より多くなる（すなわち、赤玉3個、または赤玉2個と白玉1個）事象を $R$ とし、そうでない（赤玉1個と白玉2個、または白玉3個）事象を $\bar{R}$ とします。

観測者が誤った判断を下す確率 $p_n$ は、袋 $U_1$ を渡されて $\bar{R}$ が起こる確率と、袋 $U_2$ を渡されて $R$ が起こる確率の和である。すなわち、

$$ p_n = P(A_1 \cap \bar{R}) + P(A_2 \cap R) = P(A_1)P(\bar{R} \mid A_1) + P(A_2)P(R \mid A_2) $$

となる。ここで、$n \to \infty$ の極限を考えるため、$n \geqq 3$ とする。

(i)

$P(\bar{R} \mid A_1)$ の計算

袋 $U_1$ には赤玉 $4n$ 個、白玉 $n$ 個の合計 $5n$ 個が入っています。 この袋から3個の玉を取り出したとき、赤玉1個と白玉2個、または白玉3個となる確率は、

$$ P(\bar{R} \mid A_1) = \frac{_{4n}\text{C}_1 \cdot _n\text{C}_2 + _{4n}\text{C}_0 \cdot _n\text{C}_3}{_{5n}\text{C}_3} $$

分子を計算すると、

$$ 4n \cdot \frac{n(n-1)}{2} + 1 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{n(n-1)}{6} \left\{ 12n + (n-2) \right\} = \frac{n(n-1)(13n-2)}{6} $$

分母は $\frac{5n(5n-1)(5n-2)}{6}$ であるから、

$$ P(\bar{R} \mid A_1) = \frac{n(n-1)(13n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)} $$

となる。

(ii)

$P(R \mid A_2)$ の計算

袋 $U_2$ には赤玉 $2n$ 個、白玉 $3n$ 個の合計 $5n$ 個が入っています。 この袋から3個の玉を取り出したとき、赤玉3個、または赤玉2個と白玉1個となる確率は、

$$ P(R \mid A_2) = \frac{_{2n}\text{C}_3 \cdot _{3n}\text{C}_0 + _{2n}\text{C}_2 \cdot _{3n}\text{C}_1}{_{5n}\text{C}_3} $$

分子を計算すると、

$$ \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \cdot 1 + \frac{2n(2n-1)}{2} \cdot 3n = \frac{2n(2n-1)}{6} \left\{ (2n-2) + 9n \right\} = \frac{2n(2n-1)(11n-2)}{6} $$

したがって、

$$ P(R \mid A_2) = \frac{2n(2n-1)(11n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)} $$

となる。

（iii） 極限の計算

以上の結果から、$p_n$ の極限は次のようになる。

$$ \lim_{n \to \infty} P(\bar{R} \mid A_1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right) \cdot \left(13 - \frac{2}{n}\right)}{5 \cdot \left(5 - \frac{1}{n}\right) \cdot \left(5 - \frac{2}{n}\right)} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 13}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{13}{125} $$

$$ \lim_{n \to \infty} P(R \mid A_2) = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \left(2 - \frac{1}{n}\right) \cdot \left(11 - \frac{2}{n}\right)}{5 \cdot \left(5 - \frac{1}{n}\right) \cdot \left(5 - \frac{2}{n}\right)} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 11}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{44}{125} $$

よって、求める極限値は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} p_n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{2}{3} P(\bar{R} \mid A_1) + \frac{1}{3} P(R \mid A_2) \right\} \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{13}{125} + \frac{1}{3} \cdot \frac{44}{125} \\ &= \frac{26 + 44}{375} \\ &= \frac{70}{375} \\ &= \frac{14}{75} \end{aligned} $$

解説

袋の中から同時に複数個の玉を取り出す操作（非復元抽出）は、玉の総数が無限に近づく極限（$n \to \infty$）においては、玉を1個ずつ元に戻しながら取り出す操作（復元抽出）と確率が等しくなることが知られている。

この性質を用いると、袋 $U_1$ （赤玉の割合 $\frac{4}{5}$、白玉の割合 $\frac{1}{5}$）から復元抽出で3個取り出すときに白玉が2個以上出る確率と、袋 $U_2$ （赤玉の割合 $\frac{2}{5}$、白玉の割合 $\frac{3}{5}$）から復元抽出で3個取り出すときに赤玉が2個以上出る確率を計算することで、極限値を直感的に求めることができる。

実際に復元抽出として計算すると、袋 $U_1$ で判断を誤る確率は

$$ _3\text{C}_1 \left(\frac{4}{5}\right)^1 \left(\frac{1}{5}\right)^2 + _3\text{C}_0 \left(\frac{4}{5}\right)^0 \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{12}{125} + \frac{1}{125} = \frac{13}{125} $$

となり、解答中の $\lim_{n \to \infty} P(\bar{R} \mid A_1)$ と一致する。 記述式答案としては、本解答のように $n$ によるコンビネーションの式を立てて、分母分子の最高次数の項から極限を厳密に示すのが確実である。

答え

$$ \frac{14}{75} $$