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京都大学 1979年理系第4問解説

方針・初手

（i）は2人が同じ目を出す場合を考え、それぞれの目が出る事象が互いに排反であることを利用して確率を足し合わせる。（ii）は $\sum_{k=1}^{6} p_k = 1$ という確率の基本性質を利用して、$P$ の最小値を求める問題に帰着させる。実数の2乗が $0$ 以上になるように式を平方完成の要領で変形するか、コーシー・シュワルツの不等式を活用する。

解法1

(i)

2人が引き分けになるのは、2人とも同じ目を出すときである。ある $k$ ($k=1, 2, 3, 4, 5, 6$) の目が出る確率は $p_k$ であり、2人の試行は独立であるから、2人とも $k$ の目を出す確率は $p_k^2$ である。引き分けになる事象は、どちらも $1$ を出す、どちらも $2$ を出す、$\dots$、どちらも $6$ を出すという $6$ つの互いに排反な事象の和事象である。したがって、引き分けになる確率 $P$ は、

$$ P = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 + p_5^2 + p_6^2 = \sum_{k=1}^{6} p_k^2 $$

となる。

(ii)

確率の総和は $1$ であるから、

$$ \sum_{k=1}^{6} p_k = 1 $$

が成り立つ。ここで、任意の実数 $x$ について $x^2 \geqq 0$ であることを利用するため、以下の式の展開を考える。

$$ \sum_{k=1}^{6} \left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 = \sum_{k=1}^{6} \left( p_k^2 - \frac{1}{3} p_k + \frac{1}{36} \right) $$

シグマを分配して計算すると、

$$ \sum_{k=1}^{6} \left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 = \sum_{k=1}^{6} p_k^2 - \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{6} p_k + \sum_{k=1}^{6} \frac{1}{36} $$

（i）の結果と確率の総和の条件より、$\sum_{k=1}^{6} p_k^2 = P$、$\sum_{k=1}^{6} p_k = 1$ であり、定数の和は $\sum_{k=1}^{6} \frac{1}{36} = 6 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{6}$ であるから、

$$ \sum_{k=1}^{6} \left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 = P - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{6} = P - \frac{1}{6} $$

任意の実数の2乗は $0$ 以上であるため、$\sum_{k=1}^{6} \left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 \geqq 0$ である。したがって、

$$ P - \frac{1}{6} \geqq 0 $$

$$ P \geqq \frac{1}{6} $$

が成り立つ。さらに、$P = \frac{1}{6}$ となるのは、

$$ \sum_{k=1}^{6} \left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 = 0 $$

が成り立つときである。各項 $\left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2$ は $0$ 以上であるため、和が $0$ になるのはすべての項が $0$ のときに限られる。すなわち、すべての $k$ に対して

$$ p_k - \frac{1}{6} = 0 $$

が成り立つ。よって、$P = \frac{1}{6}$ ならば、すべての $k$ ($k=1, 2, 3, 4, 5, 6$) について $p_k = \frac{1}{6}$ であることが示された。

解法2

(ii) の別解

コーシー・シュワルツの不等式より、実数 $a_1, \dots, a_6$ と $b_1, \dots, b_6$ に対して以下が成り立つ。

$$ (a_1^2 + \dots + a_6^2)(b_1^2 + \dots + b_6^2) \geqq (a_1 b_1 + \dots + a_6 b_6)^2 $$

ここで、$a_k = 1, b_k = p_k$ ($k=1, 2, 3, 4, 5, 6$) とおくと、

$$ (1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2)(p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 + p_5^2 + p_6^2) \geqq (1 \cdot p_1 + 1 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 + 1 \cdot p_4 + 1 \cdot p_5 + 1 \cdot p_6)^2 $$

すなわち、シグマ記号を用いて表すと、

$$ 6 \sum_{k=1}^{6} p_k^2 \geqq \left( \sum_{k=1}^{6} p_k \right)^2 $$

（i）より $\sum_{k=1}^{6} p_k^2 = P$ であり、確率の総和より $\sum_{k=1}^{6} p_k = 1$ であるから、これを代入して

$$ 6P \geqq 1^2 = 1 $$

$$ P \geqq \frac{1}{6} $$

が成り立つ。さらに、$P = \frac{1}{6}$ となるのはコーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件を満たすときであり、それはすべての $k$ について $a_k$ と $b_k$ の比が一定になるときである。すなわち、ある定数 $t$ を用いて

$$ p_k = t \cdot 1 = t \quad (k=1, 2, 3, 4, 5, 6) $$

と表せるときである。これを $\sum_{k=1}^{6} p_k = 1$ に代入すると、

$$ 6t = 1 $$

$$ t = \frac{1}{6} $$

となる。よって、$P = \frac{1}{6}$ ならば $p_k = \frac{1}{6}$ $(k=1, 2, 3, 4, 5, 6)$ であることが示された。

解説

独立試行の確率の立式と、和が一定である変数の2乗和の最小化を組み合わせた問題である。「確率の総和が $1$ になる」という条件 $\sum p_k = 1$ は問題文に明記されていない隠れた条件であるため、自分で式として書き下す必要がある。条件つきの最小値問題としてコーシー・シュワルツの不等式は非常に相性が良いが、解法1のように「（変数）$- $（平均値）」の2乗和を考える手法（分散が $0$ 以上であることの証明と同じ考え方）も汎用性が高く強力である。