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東京工業大学 1985年理系第3問解説

方針・初手

円が互いに内接・外接する条件を、中心間の距離と半径の関係式に翻訳する。図形の対称性に着目すると、四辺形 $ABDC$ の対角線 $AD$ と $BC$ が直交することが分かるため、それぞれの対角線の長さを $a$ で表し、面積を求める。(2) では無理関数を含む式になるため、$t = \sqrt{a}$ と変数変換を行い、微分の計算を簡略化する。

解法1

(1) 円 $O_1, O_2, O_3, O_4, O_5$ の半径をそれぞれ $r_1, r_2, r_3, r_4, r_5$ とする。条件より、$r_1 = 1, r_2 = a$ である。また、$O_1, O_2$ は同心円であるから、$O_1$ の中心も $A$ である。

円 $O_3$ は $O_1$ に内接し、$O_2$ に外接するため、中心間の距離 $AB$ は

$$ AB = r_1 - r_3 = 1 - r_3 $$

$$ AB = r_2 + r_3 = a + r_3 $$

これらを連立して解くと、$r_3 = \frac{1-a}{2}, AB = \frac{1+a}{2}$ を得る。同様に、円 $O_4$ は $O_1$ に内接し、$O_2$ に外接するため、$r_4 = \frac{1-a}{2}, AC = \frac{1+a}{2}$ である。さらに、円 $O_4$ は $O_3$ に外接するため、

$$ BC = r_3 + r_4 = 1 - a $$

$\triangle ABC$ は $AB = AC$ の二等辺三角形である。辺 $BC$ の中点を $M$ とすると、$AM \perp BC$ となり、

$$ BM = CM = \frac{1}{2} BC = \frac{1-a}{2} $$

直角三角形 $ABM$ において、三平方の定理より

$$ AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{\left(\frac{1+a}{2}\right)^2 - \left(\frac{1-a}{2}\right)^2} = \sqrt{a} $$

次に、円 $O_5$ について考える。$O_5$ は $O_1$ に内接し、$O_3, O_4$ に外接するため、

$$ \begin{aligned} AD &= 1 - r_5 \\ BD &= r_3 + r_5 = \frac{1-a}{2} + r_5 \\ CD &= r_4 + r_5 = \frac{1-a}{2} + r_5 \end{aligned} $$

$BD = CD$ より、点 $D$ は線分 $BC$ の垂直二等分線上にある。点 $A$ も $BC$ の垂直二等分線上にあるため、$A, M, D$ は同一直線上にある。条件より点 $D$ は直線 $BC$ に関して点 $A$ の反対側にあるため、$A, M, D$ はこの順に並ぶ。したがって、$AD = AM + MD = \sqrt{a} + MD$ であり、これより

$$ r_5 = 1 - AD = 1 - \sqrt{a} - MD $$

となる。

直角三角形 $DBM$ において三平方の定理より $BD^2 = BM^2 + MD^2$ であるから、

$$ \left(\frac{1-a}{2} + 1 - \sqrt{a} - MD\right)^2 = \left(\frac{1-a}{2}\right)^2 + MD^2 $$

$$ \left(\frac{3-a-2\sqrt{a}}{2} - MD\right)^2 = \left(\frac{1-a}{2}\right)^2 + MD^2 $$

展開して整理すると、

$$ \left(\frac{3-a-2\sqrt{a}}{2}\right)^2 - (3-a-2\sqrt{a})MD = \left(\frac{1-a}{2}\right)^2 $$

$$ (3-a-2\sqrt{a})MD = \left(\frac{3-a-2\sqrt{a}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1-a}{2}\right)^2 $$

右辺に平方の差の公式を用いて因数分解する。

$$ \begin{aligned} (3-a-2\sqrt{a})MD &= \left(\frac{3-a-2\sqrt{a}}{2} - \frac{1-a}{2}\right)\left(\frac{3-a-2\sqrt{a}}{2} + \frac{1-a}{2}\right) \\ &= (1-\sqrt{a})(2-a-\sqrt{a}) \end{aligned} $$

ここで、$3-a-2\sqrt{a} = (1-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})$ であり、$2-a-\sqrt{a} = (1-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})$ であるから、

$$ (1-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})MD = (1-\sqrt{a})^2 (2+\sqrt{a}) $$

$0 < a < 1$ より $1-\sqrt{a} > 0$ であるから、両辺を割って

$$ MD = \frac{(1-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} $$

ゆえに、対角線 $AD$ の長さは

$$ AD = \sqrt{a} + \frac{(1-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(3+\sqrt{a}) + 2 - a - \sqrt{a}}{3+\sqrt{a}} = \frac{2(1+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} $$

四辺形 $ABDC$ の面積 $S(a)$ は、対角線 $AD$ と $BC$ が直交するため、

$$ S(a) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} (1-a) \cdot \frac{2(1+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} = \frac{(1-a)(1+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} $$

(2) $t = \sqrt{a}$ とおくと、$0 < a < 1$ より $0 < t < 1$ であり、$S(a)$ は $t$ の関数 $f(t)$ として次のように表される。

$$ f(t) = \frac{(1-t^2)(1+t)}{t+3} = \frac{-t^3 - t^2 + t + 1}{t+3} $$

$f(t)$ を $t$ で微分する。

$$ \begin{aligned} f'(t) &= \frac{(-3t^2 - 2t + 1)(t+3) - (-t^3 - t^2 + t + 1) \cdot 1}{(t+3)^2} \\ &= \frac{(-3t^3 - 11t^2 - 5t + 3) + (t^3 + t^2 - t - 1)}{(t+3)^2} \\ &= \frac{-2t^3 - 10t^2 - 6t + 2}{(t+3)^2} \\ &= \frac{-2(t^3 + 5t^2 + 3t - 1)}{(t+3)^2} \end{aligned} $$

ここで、$g(t) = t^3 + 5t^2 + 3t - 1$ とおく。$g(-1) = 0$ となることから因数定理を用いて因数分解すると、$g(t) = (t+1)(t^2 + 4t - 1)$ となる。したがって、

$$ f'(t) = \frac{-2(t+1)(t^2 + 4t - 1)}{(t+3)^2} $$

$0 < t < 1$ の範囲において $t+1 > 0$ であり、$f'(t) = 0$ となる $t$ は $t^2 + 4t - 1 = 0$ の正の解であるから、$t = \sqrt{5}-2$ である。 $0 < t < \sqrt{5}-2$ のとき $t^2 + 4t - 1 < 0$ より $f'(t) > 0$、$ \sqrt{5}-2 < t < 1$ のとき $t^2 + 4t - 1 > 0$ より $f'(t) < 0$ となるため、$f(t)$ は $t = \sqrt{5}-2$ で極大かつ最大となる。

$t = \sqrt{5}-2$ のとき $t^2 = 1 - 4t$ であるから、$1-t^2 = 4t$ となる。これを $f(t)$ の分子に代入すると、

$$ (1-t^2)(1+t) = 4t(1+t) = 4t^2 + 4t = 4(1-4t) + 4t = 4 - 12t $$

したがって、最大値は

$$ \frac{4-12t}{t+3} = \frac{4 - 12(\sqrt{5}-2)}{\sqrt{5}-2+3} = \frac{28 - 12\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} $$

分母を有理化して整理する。

$$ \frac{4(7 - 3\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{4(7\sqrt{5} - 7 - 15 + 3\sqrt{5})}{4} = 10\sqrt{5} - 22 $$

解説

円が互いに内接・外接する条件から、中心間の距離についての等式を立てるのが定石である。各円の半径を文字で置き、それらの関係式から図形的な長さを $a$ で表していくことで、幾何の問題を代数的な計算へと帰着させることができる。特に本問では、図形の対称性から点 $A, D$ が線分 $BC$ の垂直二等分線上にあることに気づくことが重要である。

(2) では変数変換 $t = \sqrt{a}$ を行うことで、ルートを含まない有理関数の微分に持ち込める。最大値を求める際には、条件式 $t^2 + 4t - 1 = 0$ を用いて高次式の次数を下げると、計算を大幅に簡略化しミスを防ぐことができる。