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東京工業大学 2005年理系第2問解説

方針・初手

サイコロを2回振って出る目 $\alpha, \beta$ は互いに独立な確率変数である。期待値の線形性 $E[X+Y] = E[X]+E[Y]$ および、独立な確率変数の積の期待値の性質 $E[XY] = E[X]E[Y]$ を活用して計算を進める。

最初に $f(x)$ および $f(x)^2$ を展開して係数比較を行い、$s, t, a, b, c, d$ を $\alpha, \beta$ を用いて表す。その後、$\alpha, \beta$ の1次および2次の期待値をあらかじめ求めておき、それらを代入して各係数の期待値を計算する。

解法1

確率変数 $\alpha, \beta$ は互いに独立であり、それぞれ $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の値を等確率 $\frac{1}{6}$ でとる。

したがって、$\alpha$ および $\beta$ の期待値と、それらの2乗の期待値は以下のように計算できる。

$$ E[\alpha] = E[\beta] = \sum_{k=1}^6 k \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{7}{2} $$

$$ E[\alpha^2] = E[\beta^2] = \sum_{k=1}^6 k^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6} $$

また、$\alpha$ と $\beta$ は独立であるため、$E[\alpha\beta] = E[\alpha]E[\beta]$ などが成り立つ。

(1)

$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta) = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ である。

これと $f(x) = x^2 + sx + t$ の係数を比較すると、以下の関係式が得られる。

$$ \begin{cases} s = -(\alpha+\beta) \\ t = \alpha\beta \end{cases} $$

期待値の線形性より、$s$ および $t$ の期待値は次のように求まる。

$$ E[s] = E[-(\alpha+\beta)] = -E[\alpha] - E[\beta] = -\frac{7}{2} - \frac{7}{2} = -7 $$

$$ E[t] = E[\alpha\beta] = E[\alpha]E[\beta] = \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{4} $$

(2)

次に $f(x)^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(x)^2 &= (x^2 + sx + t)^2 \\ &= x^4 + s^2x^2 + t^2 + 2(x^2 \cdot sx + sx \cdot t + t \cdot x^2) \\ &= x^4 + 2sx^3 + (s^2+2t)x^2 + 2stx + t^2 \end{aligned} $$

これと $f(x)^2 = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ の係数を比較すると、以下の関係式が得られる。

$$ \begin{cases} a = 2s \\ b = s^2 + 2t \\ c = 2st \\ d = t^2 \end{cases} $$

これらの期待値を順に求める。

$a$ の期待値：

$$ E[a] = E[2s] = 2E[s] = 2 \cdot (-7) = -14 $$

$b$ の期待値：

$s = -(\alpha+\beta), t = \alpha\beta$ を代入すると、

$$ b = (-(\alpha+\beta))^2 + 2\alpha\beta = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 + 2\alpha\beta = \alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2 $$

よって、

$$ \begin{aligned} E[b] &= E[\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2] \\ &= E[\alpha^2] + 4E[\alpha]E[\beta] + E[\beta^2] \\ &= \frac{91}{6} + 4 \left( \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} \right) + \frac{91}{6} \\ &= \frac{91}{3} + 49 \\ &= \frac{91 + 147}{3} = \frac{238}{3} \end{aligned} $$

$c$ の期待値：

同様に代入して整理する。

$$ c = 2st = 2(-(\alpha+\beta))(\alpha\beta) = -2(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2) $$

よって、

$$ \begin{aligned} E[c] &= -2(E[\alpha^2\beta] + E[\alpha\beta^2]) \\ &= -2(E[\alpha^2]E[\beta] + E[\alpha]E[\beta^2]) \\ &= -2 \left( \frac{91}{6} \cdot \frac{7}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{91}{6} \right) \\ &= -2 \left( 2 \cdot \frac{637}{12} \right) \\ &= -\frac{637}{3} \end{aligned} $$

$d$ の期待値：

$$ d = t^2 = (\alpha\beta)^2 = \alpha^2\beta^2 $$

よって、

$$ \begin{aligned} E[d] &= E[\alpha^2\beta^2] \\ &= E[\alpha^2]E[\beta^2] \\ &= \frac{91}{6} \cdot \frac{91}{6} \\ &= \frac{8281}{36} \end{aligned} $$

解説

多項式の係数比較を用いて確率変数の関係式を導き、独立な確率変数における期待値の性質を利用する標準的な問題である。

$\alpha$ と $\beta$ が独立であるとき、$E[\alpha^2\beta] = E[\alpha^2]E[\beta]$ のように積の期待値をそれぞれの期待値の積に分解できることが計算の要となる。展開した後の式 $b = s^2+2t$ などにおいて、むやみに $E[s^2]$ や $E[2t]$ を個別に計算するよりも、一度 $\alpha, \beta$ の式に直してから独立性を利用する方が見通し良く計算できる。