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東京大学 2006年理系第1問解説

方針・初手

（1）は、各点の座標を変数でおき、与えられた漸化式を用いて $P_3$ の座標を $P_1, P_2$ の座標で表す。その後、$P_3$ が曲線 $xy=1$ 上にあると仮定して背理法を用いる。
（2）は、「円周上にある」という条件を「位置ベクトルの大きさが $1$ である」と言い換える。与式を2乗して内積の値を求め、段階的に $|\overrightarrow{OP_4}|^2$ の値を計算していくアプローチが有効である。

解法1

(1) 点 $P_n$ の座標を $(x_n, y_n)$ とする。条件のベクトル方程式を各成分で表すと、

$$ x_{n-1} + x_{n+1} = \frac{3}{2}x_n \quad \cdots ① $$

$$ y_{n-1} + y_{n+1} = \frac{3}{2}y_n \quad \cdots ② $$

が成り立つ。$n=2$ のとき、①、②より

$$ x_3 = \frac{3}{2}x_2 - x_1 $$

$$ y_3 = \frac{3}{2}y_2 - y_1 $$

$P_1, P_2$ は曲線 $xy=1$ 上にあるから、

$$ x_1y_1 = 1, \quad x_2y_2 = 1 \quad \cdots ③ $$

を満たす。ここで、$P_3$ が曲線 $xy=1$ 上にあると仮定すると、

$$ x_3y_3 = 1 $$

これに $x_3, y_3$ を代入して、

$$ \left(\frac{3}{2}x_2 - x_1\right)\left(\frac{3}{2}y_2 - y_1\right) = 1 $$

展開して整理すると、

$$ \frac{9}{4}x_2y_2 - \frac{3}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) + x_1y_1 = 1 $$

③を用いると、

$$ \frac{9}{4} - \frac{3}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) + 1 = 1 $$

$$ \frac{3}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) = \frac{9}{4} $$

$$ x_1y_2 + x_2y_1 = \frac{3}{2} \quad \cdots ④ $$

③より $x_1 \neq 0, x_2 \neq 0$ であり、$y_1 = \frac{1}{x_1}, y_2 = \frac{1}{x_2}$ である。これを④に代入すると、

$$ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{3}{2} $$

両辺に $2x_1x_2$ を掛けて整理すると、

$$ 2x_1^2 - 3x_1x_2 + 2x_2^2 = 0 $$

$$ 2\left(x_1 - \frac{3}{4}x_2\right)^2 + \frac{7}{8}x_2^2 = 0 $$

$x_1, x_2$ は実数であるから、$x_1 - \frac{3}{4}x_2 = 0$ かつ $x_2 = 0$ でなければならない。しかし、これは $x_2 \neq 0$ に矛盾する。したがって、$P_3$ は曲線 $xy=1$ 上にはない。

(2) $P_1, P_2, P_3$ が円周 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、

$$ |\overrightarrow{OP_1}| = |\overrightarrow{OP_2}| = |\overrightarrow{OP_3}| = 1 \quad \cdots ⑤ $$

条件より、$n=2$ のとき

$$ \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_3} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_2} \quad \cdots ⑥ $$

$n=3$ のとき

$$ \overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_4} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_3} \quad \cdots ⑦ $$

⑥の両辺に $\overrightarrow{OP_3}$ を内積として掛けると、

$$ \overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_3} + |\overrightarrow{OP_3}|^2 = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_2} \cdot \overrightarrow{OP_3} \quad \cdots ⑧ $$

また、⑥の両辺の絶対値の2乗をとると、

$$ |\overrightarrow{OP_1}|^2 + 2\overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_3} + |\overrightarrow{OP_3}|^2 = \frac{9}{4}|\overrightarrow{OP_2}|^2 $$

⑤を代入して、

$$ 1 + 2\overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_3} + 1 = \frac{9}{4} $$

$$ 2\overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_3} = \frac{1}{4} $$

$$ \overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_3} = \frac{1}{8} $$

これを⑧に代入し、⑤を用いると、

$$ \frac{1}{8} + 1 = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_2} \cdot \overrightarrow{OP_3} $$

$$ \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_2} \cdot \overrightarrow{OP_3} = \frac{9}{8} $$

$$ \overrightarrow{OP_2} \cdot \overrightarrow{OP_3} = \frac{3}{4} \quad \cdots ⑨ $$

次に、⑦より $P_4$ の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OP_4} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_3} - \overrightarrow{OP_2} $$

と表せる。両辺の絶対値の2乗をとると、

$$ |\overrightarrow{OP_4}|^2 = \frac{9}{4}|\overrightarrow{OP_3}|^2 - 3\overrightarrow{OP_2} \cdot \overrightarrow{OP_3} + |\overrightarrow{OP_2}|^2 $$

⑤と⑨を代入して、

$$ |\overrightarrow{OP_4}|^2 = \frac{9}{4} \cdot 1 - 3 \cdot \frac{3}{4} + 1 = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = 1 $$

$|\overrightarrow{OP_4}| \geqq 0$ であるから、

$$ |\overrightarrow{OP_4}| = 1 $$

したがって、$P_4$ も円周 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあることが示された。

解法2

（1）の別解（相加平均・相乗平均の大小関係の利用）

解法1と同様にして、

$$ x_1y_2 + x_2y_1 = \frac{3}{2} \quad \cdots ④ $$

を導く。条件 $x_1y_1 = 1, x_2y_2 = 1$ より、

$$ (x_1y_2)(x_2y_1) = (x_1y_1)(x_2y_2) = 1 \cdot 1 = 1 > 0 $$

積が正であるため、$x_1y_2$ と $x_2y_1$ は同符号である。さらに和が ④ より正であるから、共に正の数であることがわかる。ここで、正の数 $x_1y_2, x_2y_1$ に対して相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、

$$ x_1y_2 + x_2y_1 \geqq 2\sqrt{x_1y_2 \cdot x_2y_1} = 2\sqrt{1} = 2 $$

よって、$x_1y_2 + x_2y_1 \geqq 2$ となるが、これは ④ の $x_1y_2 + x_2y_1 = \frac{3}{2}$ に矛盾する。したがって、$P_3$ は曲線 $xy=1$ 上にはない。

解説

（1）では成分表示にして計算を進め、背理法により矛盾を導くのが基本的な方針となる。解法1のように文字を消去して二次方程式の判別式や平方完成を利用する手法が堅実だが、解法2のように式の対称性に注目し、相加平均・相乗平均の大小関係を用いると記述をスマートにまとめることができる。
（2）では「図形上の点」という条件を「ベクトルの大きさ」に翻訳して処理する。内積 $\overrightarrow{OP_2} \cdot \overrightarrow{OP_3}$ を求めるために、与えられた漸化式の両辺に特定のベクトルを内積として掛ける手法はベクトル方程式の典型的な処理である。