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京都大学 1984年理系第4問解説

方針・初手

(1) 空間内の4点 $O, A, B, C$ について、点 $O$ が平面 $ABC$ 上にないという条件から、3つのベクトル $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ が一次独立であることを示す。計算を進めるために、始点を $A$ など平面上の1点にそろえて考えるのが有効である。

(2) 三角形の内心の位置ベクトルを求める典型問題である。内心は「3つの内角の二等分線の交点」であるため、角の二等分線と対辺の比の性質を2回用いて、位置ベクトルを順番に求めていく。最後に (1) の結果（係数比較が可能であること）を用いて結論づける。

解法1

(1)

与えられた等式

$$ u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB} + w\overrightarrow{OC} = \vec{0} $$

について、すべてのベクトルの始点を $A$ に変更する。

$$ u(-\overrightarrow{AO}) + v(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AO}) + w(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AO}) = \vec{0} $$

これを $\overrightarrow{AO}$ について整理すると、

$$ (u + v + w)\overrightarrow{AO} = v\overrightarrow{AB} + w\overrightarrow{AC} \quad \cdots \text{①} $$

となる。

ここで、$u + v + w \neq 0$ と仮定すると、①の両辺を $u + v + w$ で割ることができ、

$$ \overrightarrow{AO} = \frac{v}{u + v + w}\overrightarrow{AB} + \frac{w}{u + v + w}\overrightarrow{AC} $$

と表せる。これは、点 $O$ が点 $A, B, C$ の定める平面上にあることを意味するが、これは「原点 $O$ は三角形 $ABC$ が決定する平面上にはない」という問題の仮定に矛盾する。したがって、$u + v + w = 0$ でなければならない。

$u + v + w = 0$ のとき、①式は

$$ \vec{0} = v\overrightarrow{AB} + w\overrightarrow{AC} $$

となる。三角形 $ABC$ が存在することから、2つのベクトル $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ は $\vec{0}$ ではなく、かつ互いに平行ではない（一次独立である）。よって、この等式が成り立つためには $v = 0$ かつ $w = 0$ でなければならない。

これらを $u + v + w = 0$ に代入すると、$u = 0$ が得られる。以上より、$u = v = w = 0$ であることが示された。

(2)

直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。 $P$ は内心であるから、直線 $AD$ は $\angle A$ の二等分線である。角の二等分線の性質より、

$$ BD : DC = AB : AC = c : b $$

となるので、点 $D$ は辺 $BC$ を $c : b$ に内分する点である。したがって、始点を $A$ とすると

$$ \overrightarrow{AD} = \frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{b + c} \quad \cdots \text{②} $$

と表せる。また、線分 $BD$ の長さは

$$ BD = BC \times \frac{c}{b + c} = \frac{ac}{b + c} $$

である。

次に、直線 $BP$ は $\angle B$ の二等分線であるから、$\triangle ABD$ において同様に

$$ AP : PD = AB : BD = c : \frac{ac}{b + c} = 1 : \frac{a}{b + c} = (b + c) : a $$

となる。よって、点 $P$ は線分 $AD$ を $(b + c) : a$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{b + c}{(b + c) + a}\overrightarrow{AD} = \frac{b + c}{a + b + c}\overrightarrow{AD} $$

これに②を代入して、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= \frac{b + c}{a + b + c} \times \frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{b + c} \\ &= \frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a + b + c} \end{aligned} $$

ここで、始点を $O$ に変換する。

$$ \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \frac{b(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + c(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})}{a + b + c} $$

これを $\overrightarrow{OP}$ について整理すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \overrightarrow{OA} - \frac{b + c}{a + b + c}\overrightarrow{OA} + \frac{b}{a + b + c}\overrightarrow{OB} + \frac{c}{a + b + c}\overrightarrow{OC} \\ &= \frac{a + b + c - (b + c)}{a + b + c}\overrightarrow{OA} + \frac{b}{a + b + c}\overrightarrow{OB} + \frac{c}{a + b + c}\overrightarrow{OC} \\ &= \frac{a}{a + b + c}\overrightarrow{OA} + \frac{b}{a + b + c}\overrightarrow{OB} + \frac{c}{a + b + c}\overrightarrow{OC} \end{aligned} $$

問題の条件より $\overrightarrow{OP} = u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB} + w\overrightarrow{OC}$ であり、(1) で示した通り $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ は一次独立であるから、この係数比較は一意に定まる。

したがって、

$$ u = \frac{a}{a + b + c}, \quad v = \frac{b}{a + b + c}, \quad w = \frac{c}{a + b + c} $$

となる。

解説

(1) は空間における「4点が同一平面上にない」ことと、「3つのベクトルが一次独立である」ことが同値であることを証明する問題である。ベクトルの始点を平面上の1点（今回は $A$）にそろえて平面の方程式を導き、仮定との矛盾を示す手法は定石である。

(2) は三角形の内心の位置ベクトルを導出する非常に有名な問題である。「角の二等分線は対辺を隣辺の比に内分する」という性質を2回連続で用いることで自然に導出できる。公式として結果を暗記している受験生も多いが、本問のように導出過程をしっかりと記述できる必要がある。また、最後に係数比較を行う際、(1) で証明した一次独立性がその根拠となっている点にも注意したい。