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大阪大学 1992年文系第3問解説

方針・初手

上下の正六角形の中心をそれぞれ $O_A$, $O_B$ とし、図形の対称性に着目してベクトルを分解する方針をとる。各頂点へのベクトルを、中心 $O_A$, $O_B$ を始点とする平面ベクトルと、中心同士を結ぶ垂直なベクトル $\overrightarrow{O_B O_A}$ に分けて記述すると、計算を大幅に簡略化できる。

解法1

上の正六角形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ の中心を $O_A$、下の正六角形 $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ の中心を $O_B$ とする。問題の条件より、直線 $O_A O_B$ は上下面と垂直である。

$\overrightarrow{O_A A_k} = \vec{a}_k$, $\overrightarrow{O_B B_k} = \vec{b}_k$ $(k=1, 2, \dots, 6)$ とし、$\overrightarrow{O_B O_A} = \vec{h}$ とおく。上下面の正六角形は1辺の長さが1であるため、外接円の半径も1であり、$|\vec{a}_k| = 1$, $|\vec{b}_k| = 1$ が成り立つ。また、$\vec{h}$ は $\vec{a}_k$, $\vec{b}_k$ を含む平面と垂直であるから、任意の $k$ について $\vec{h} \cdot \vec{a}_k = 0$, $\vec{h} \cdot \vec{b}_k = 0$ である。

空間内の任意のベクトル $\overrightarrow{A_i B_j}$ は、次のように分解できる。

$$ \overrightarrow{A_i B_j} = \overrightarrow{O_B B_j} - \overrightarrow{O_B A_i} = \vec{b}_j - (\overrightarrow{O_B O_A} + \overrightarrow{O_A A_i}) = \vec{b}_j - \vec{a}_i - \vec{h} $$

同様に、$\overrightarrow{B_i A_j}$ は以下のように表せる。

$$ \overrightarrow{B_i A_j} = \overrightarrow{O_A A_j} - \overrightarrow{O_A B_i} = \vec{a}_j - (\overrightarrow{O_A O_B} + \overrightarrow{O_B B_i}) = \vec{a}_j - \vec{b}_i + \vec{h} $$

(1)

求めるベクトルを $\vec{S}$ とおく。

$$ \vec{S} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_2A_3} + \overrightarrow{A_4B_4} + \overrightarrow{B_5A_6} $$

それぞれの項を $\vec{a}_k, \vec{b}_k, \vec{h}$ を用いて表す。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{A_1B_1} &= \vec{b}_1 - \vec{a}_1 - \vec{h} \\ \overrightarrow{B_2A_3} &= \vec{a}_3 - \vec{b}_2 + \vec{h} \\ \overrightarrow{A_4B_4} &= \vec{b}_4 - \vec{a}_4 - \vec{h} \\ \overrightarrow{B_5A_6} &= \vec{a}_6 - \vec{b}_5 + \vec{h} \end{aligned} $$

これらを足し合わせると、$\vec{h}$ の項は相殺され、次のように整理できる。

$$ \vec{S} = (\vec{b}_1 - \vec{b}_2 + \vec{b}_4 - \vec{b}_5) - (\vec{a}_1 - \vec{a}_3 + \vec{a}_4 - \vec{a}_6) $$

ここで、正六角形の中心に関する対称性から、向かい合う頂点へのベクトルは逆ベクトルとなるため、$\vec{a}_4 = -\vec{a}_1$, $\vec{a}_6 = -\vec{a}_3$ が成り立つ。これを $\vec{a}$ の項に代入する。

$$ \vec{a}_1 - \vec{a}_3 + \vec{a}_4 - \vec{a}_6 = \vec{a}_1 - \vec{a}_3 - \vec{a}_1 - (-\vec{a}_3) = \vec{0} $$

同様に、$\vec{b}_4 = -\vec{b}_1$, $\vec{b}_5 = -\vec{b}_2$ であるから、次が成り立つ。

$$ \vec{b}_1 - \vec{b}_2 + \vec{b}_4 - \vec{b}_5 = \vec{b}_1 - \vec{b}_2 - \vec{b}_1 - (-\vec{b}_2) = \vec{0} $$

よって、$\vec{S} = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$ となるため、求めるベクトルの長さは $0$ である。

(2)

与えられた2つのベクトルをそれぞれ $\vec{u}, \vec{v}$ とおく。

$$ \begin{aligned} \vec{u} &= \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_3B_3} + \overrightarrow{A_5B_5} \\ \vec{v} &= \overrightarrow{B_1A_2} + \overrightarrow{B_3A_4} + \overrightarrow{B_5A_6} \end{aligned} $$

先ほどと同様に分解して整理する。

$$ \begin{aligned} \vec{u} &= (\vec{b}_1 - \vec{a}_1 - \vec{h}) + (\vec{b}_3 - \vec{a}_3 - \vec{h}) + (\vec{b}_5 - \vec{a}_5 - \vec{h}) \\ &= (\vec{b}_1 + \vec{b}_3 + \vec{b}_5) - (\vec{a}_1 + \vec{a}_3 + \vec{a}_5) - 3\vec{h} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \vec{v} &= (\vec{a}_2 - \vec{b}_1 + \vec{h}) + (\vec{a}_4 - \vec{b}_3 + \vec{h}) + (\vec{a}_6 - \vec{b}_5 + \vec{h}) \\ &= (\vec{a}_2 + \vec{a}_4 + \vec{a}_6) - (\vec{b}_1 + \vec{b}_3 + \vec{b}_5) + 3\vec{h} \end{aligned} $$

正六角形の1つおきの頂点（例えば $A_1, A_3, A_5$）は正三角形をなし、その重心は正六角形の中心に一致するため、位置ベクトルの和は零ベクトルとなる。

$$ \begin{aligned} \vec{a}_1 + \vec{a}_3 + \vec{a}_5 &= \vec{0} \\ \vec{a}_2 + \vec{a}_4 + \vec{a}_6 &= \vec{0} \\ \vec{b}_1 + \vec{b}_3 + \vec{b}_5 &= \vec{0} \end{aligned} $$

これらを用いると、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ は次のように極めて簡潔に表される。

$$ \vec{u} = -3\vec{h}, \quad \vec{v} = 3\vec{h} $$

したがって、求める内積は次のようになる。

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (-3\vec{h}) \cdot (3\vec{h}) = -9 |\vec{h}|^2 $$

最後に $|\vec{h}|^2$ の値を求める。側面をなす三角形 $A_1B_1A_2$ は1辺の長さが1の正三角形であるから、$|\overrightarrow{A_1B_1}|^2 = 1$, $|\overrightarrow{B_1A_2}|^2 = 1$ である。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{A_1B_1}|^2 &= |\vec{b}_1 - \vec{a}_1 - \vec{h}|^2 \\ &= |\vec{b}_1 - \vec{a}_1|^2 + |\vec{h}|^2 \quad (\because \vec{h} \cdot (\vec{b}_1 - \vec{a}_1) = 0) \\ &= |\vec{b}_1|^2 - 2\vec{a}_1 \cdot \vec{b}_1 + |\vec{a}_1|^2 + |\vec{h}|^2 \\ &= 2 - 2\vec{a}_1 \cdot \vec{b}_1 + |\vec{h}|^2 \end{aligned} $$

これが $1$ に等しいため、次が成り立つ。

$$ |\vec{h}|^2 = 2\vec{a}_1 \cdot \vec{b}_1 - 1 $$

同様に、$|\overrightarrow{B_1A_2}|^2 = 1$ より次が成り立つ。

$$ \begin{aligned} 1 &= |\vec{a}_2 - \vec{b}_1 + \vec{h}|^2 \\ &= 2 - 2\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1 + |\vec{h}|^2 \end{aligned} $$

よって $|\vec{h}|^2 = 2\vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1 - 1$ となり、$\vec{a}_1 \cdot \vec{b}_1 = \vec{a}_2 \cdot \vec{b}_1$ が得られる。

$\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{b}_1$ を同一平面上の単位ベクトルとみなす。 $\vec{a}_1$ と $\vec{a}_2$ のなす角は $\frac{\pi}{3}$ である。$\vec{a}_1$ から $\vec{b}_1$ への回転角を $\theta$ とすると、$\vec{a}_2$ と $\vec{b}_1$ のなす角は $\left| \theta - \frac{\pi}{3} \right|$ となる。内積が等しいことから $\cos \theta = \cos \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)$ が成り立ち、これを解くと $\theta = \frac{\pi}{6}$ となる。

したがって、内積 $\vec{a}_1 \cdot \vec{b}_1$ は以下のように求まる。

$$ \vec{a}_1 \cdot \vec{b}_1 = 1 \times 1 \times \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

これより $|\vec{h}|^2$ を計算する。

$$ |\vec{h}|^2 = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \sqrt{3} - 1 $$

以上より、求める内積は次のように求まる。

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = -9 (\sqrt{3} - 1) = 9 - 9\sqrt{3} $$

解法2

座標空間を設定して成分計算で解くこともできる。下の正六角形の中心 $O_B$ を原点 $(0,0,0)$ とし、上の正六角形の中心 $O_A$ を $(0,0,h)$ $(h > 0)$ とする。上下面の正六角形は外接円の半径が1であるため、頂点の座標を以下のように設定できる。

$A_k$ の $z$ 軸周りの偏角を $\alpha_k$、$B_k$ の偏角を $\beta_k$ とおくと、正六角形の頂点であることから $\alpha_k = \frac{\pi}{3}(k-1)$ である。側面が正三角形になるためには、解法1での考察と同様に、下の正六角形は上の正六角形に対して $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した位置関係にある。よって $\beta_k = \frac{\pi}{3}(k-1) + \frac{\pi}{6}$ である。

これより各頂点の座標は次のように表せる。

$$ \begin{aligned} A_k &= \left( \cos \alpha_k, \sin \alpha_k, h \right) \\ B_k &= \left( \cos \beta_k, \sin \beta_k, 0 \right) \end{aligned} $$

$A_1 = (1, 0, h)$, $B_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)$ であり、$A_1B_1 = 1$ より $h$ を決定する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{A_1B_1}|^2 &= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right)^2 + \left( \frac{1}{2} - 0 \right)^2 + (0 - h)^2 \\ &= \frac{3}{4} - \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{4} + h^2 \\ &= 2 - \sqrt{3} + h^2 \end{aligned} $$

これが $1$ に等しいので、$h^2 = \sqrt{3} - 1$ である。

(1)

求める和のベクトルの $z$ 成分に着目すると、$\overrightarrow{A_1B_1}$ および $\overrightarrow{A_4B_4}$ の $z$ 成分は $-h$ であり、$\overrightarrow{B_2A_3}$ および $\overrightarrow{B_5A_6}$ の $z$ 成分は $h$ である。和の $z$ 成分は $-h + h - h + h = 0$ となる。

次に $xy$ 平面上の成分について考える。各ベクトルを投影した二次元ベクトルを考えると、 $A_1, B_2, A_4, B_5$ は一直線上にあり、また $B_1, A_3, B_4, A_6$ も対応する対称性を持つ。具体的に座標を計算して足し合わせる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{A_1B_1} &= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1, \frac{1}{2}, -h \right) \\ \overrightarrow{B_2A_3} &= A_3 - B_2 = \left( -\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 1, h \right) \\ \overrightarrow{A_4B_4} &= B_4 - A_4 = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1), -\frac{1}{2} - 0, -h \right) \\ \overrightarrow{B_5A_6} &= A_6 - B_5 = \left( \frac{1}{2} - 0, -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1), h \right) \end{aligned} $$

$x$ 成分の和：

$$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) - \frac{1}{2} + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) + \frac{1}{2} = 0 $$

$y$ 成分の和：

$$ \frac{1}{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) - \frac{1}{2} + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 0 $$

すべての成分が $0$ となるため、和のベクトルは $\vec{0}$ であり、その長さは $0$ である。

(2)

$\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_3B_3} + \overrightarrow{A_5B_5}$ について考える。 $A_1, A_3, A_5$ は原点を中心とする正三角形の頂点を $z=h$ 平面に置いたものであり、その重心は $(0,0,h)$ である。したがって位置ベクトルの和は $(0,0,3h)$ となる。同様に $B_1, B_3, B_5$ の位置ベクトルの和は $(0,0,0)$ となる。よって、第1のベクトルの和は $(0,0,0) - (0,0,3h) = (0, 0, -3h)$ である。

同様に $\overrightarrow{B_1A_2} + \overrightarrow{B_3A_4} + \overrightarrow{B_5A_6}$ についても、$A_2, A_4, A_6$ の位置ベクトルの和は $(0,0,3h)$、$B_1, B_3, B_5$ の位置ベクトルの和は $(0,0,0)$ であるから、第2のベクトルの和は $(0,0,3h) - (0,0,0) = (0, 0, 3h)$ となる。

この2つのベクトルの内積は以下の通りである。

$$ (0, 0, -3h) \cdot (0, 0, 3h) = -9h^2 $$

$h^2 = \sqrt{3} - 1$ を代入して、求める内積は $9 - 9\sqrt{3}$ となる。

解説

正反柱（正多角形を上下にずらして配置し、側面を三角形で覆った立体）を題材にしたベクトルの問題である。空間図形のベクトル問題では、「始点を固定し、1次独立な基本ベクトルで全てを表す」のが定石だが、本問のように対称性の高い図形では「図形の中心から各頂点へのベクトル」を基本に据えることで、ベクトルの和が $\vec{0}$ になる性質を最大限に活用でき、計算量を劇的に減らすことができる。