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大阪大学 2005年理系第3問解説

方針・初手

空間図形において4点から等距離にある点、すなわち四面体の外接球の中心を求める問題である。空間ベクトルの内積を利用し、求める点 $E$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ の一次結合として表すのが定石である。条件「各点から等距離にある」をベクトルの大きさの平方に翻訳し、内積の方程式を立てて係数を決定する。

解法1

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とおく。与えられた条件から、各ベクトルの大きさと内積は以下のようになる。

$$ |\vec{b}| = 1, \quad |\vec{c}| = 2, \quad |\vec{d}| = 3 $$

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \times 2 \times \cos 60^\circ = 1 $$

$$ \vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \times 3 \times \cos 60^\circ = 3 $$

$$ \vec{d} \cdot \vec{b} = 3 \times 1 \times \cos 90^\circ = 0 $$

点 $E$ は 4 点 $A, B, C, D$ から等距離にあるので、

$$ |\overrightarrow{EA}| = |\overrightarrow{EB}| = |\overrightarrow{EC}| = |\overrightarrow{ED}| $$

が成り立つ。$\overrightarrow{AE} = \vec{e}$ とおいて $A$ を始点とするベクトルで表し、両辺を2乗すると以下のようになる。

$$ |\vec{e}|^2 = |\vec{e} - \vec{b}|^2 \iff 2\vec{e} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1 $$

$$ |\vec{e}|^2 = |\vec{e} - \vec{c}|^2 \iff 2\vec{e} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 = 4 $$

$$ |\vec{e}|^2 = |\vec{e} - \vec{d}|^2 \iff 2\vec{e} \cdot \vec{d} = |\vec{d}|^2 = 9 $$

4点 $A, B, C, D$ は同一平面上にないため、$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ は一次独立である。したがって、実数 $x, y, z$ を用いて $\vec{e} = x\vec{b} + y\vec{c} + z\vec{d}$ と一意に表すことができる。

これを上の内積の式にそれぞれ代入する。まず、$2\vec{e} \cdot \vec{b} = 1$ より、

$$ 2(x|\vec{b}|^2 + y\vec{b}\cdot\vec{c} + z\vec{d}\cdot\vec{b}) = 1 $$

$$ 2(x \cdot 1 + y \cdot 1 + z \cdot 0) = 1 \implies x + y = \frac{1}{2} $$

次に、$2\vec{e} \cdot \vec{c} = 4$ より、

$$ 2(x\vec{b}\cdot\vec{c} + y|\vec{c}|^2 + z\vec{c}\cdot\vec{d}) = 4 $$

$$ 2(x \cdot 1 + y \cdot 4 + z \cdot 3) = 4 \implies x + 4y + 3z = 2 $$

最後に、$2\vec{e} \cdot \vec{d} = 9$ より、

$$ 2(x\vec{b}\cdot\vec{d} + y\vec{c}\cdot\vec{d} + z|\vec{d}|^2) = 9 $$

$$ 2(x \cdot 0 + y \cdot 3 + z \cdot 9) = 9 \implies 6y + 18z = 9 \implies 2y + 6z = 3 $$

これらより、以下の連立方程式を得る。

(1)

$x + y = \frac{1}{2}$

(2)

$x + 4y + 3z = 2$

(3)

$2y + 6z = 3$

（2）から（1）を引くと $3y + 3z = \frac{3}{2}$、すなわち $y + z = \frac{1}{2}$ となる。これを（3）と連立させると、

$$ \begin{cases} 2y + 2z = 1 \\ 2y + 6z = 3 \end{cases} $$

下の式から上の式を引いて $4z = 2$ より $z = \frac{1}{2}$。これを代入して $y = 0$。さらに（1）より $x = \frac{1}{2}$。

よって、$\vec{e} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}$ となる。線分 $AE$ の長さは $|\vec{e}|$ であるから、両辺を2乗して計算する。

$$ |\vec{e}|^2 = \left| \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d}) \right|^2 = \frac{1}{4}(|\vec{b}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{d} + |\vec{d}|^2) $$

$$ |\vec{e}|^2 = \frac{1}{4}(1 + 2 \cdot 0 + 9) = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $$

$$ |\vec{e}| = \frac{\sqrt{10}}{2} $$

したがって、線分 $AE$ の長さは $\frac{\sqrt{10}}{2}$ である。

解法2

四面体 $ABCD$ において、$\triangle DAB$ は $\angle DAB = 90^\circ$ の直角三角形である。点 $E$ は $A, B, D$ から等距離にあるため、点 $E$ から平面 $DAB$ に下ろした垂線の足 $H$ は、直角三角形 $DAB$ の外心、すなわち斜辺 $BD$ の中点に一致する。

よって、

$$ \overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) $$

である。点 $E$ は平面 $DAB$ に垂直で $H$ を通る直線上にあるため、平面 $DAB$ の法線ベクトルを $\vec{n}$ とすると、実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AH} + k\vec{n} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + k\vec{n} $$

と表せる。ここで点 $E$ は点 $C$ とも等距離にある、すなわち $EA = EC$ であることから、

$$ |\overrightarrow{AE}|^2 = |\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC}|^2 \iff 2\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2 $$

$$ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2 $$

が成り立つ。上で表した $\overrightarrow{AE}$ を代入すると、

$$ \left\{ \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + k\vec{n} \right\} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 $$

$$ \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}) + k(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}) = 2 $$

ここで、内積の値はそれぞれ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 1 \times 2 \times \cos 60^\circ = 1$、$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC} = 3 \times 2 \times \cos 60^\circ = 3$ であるから、

$$ \frac{1}{2}(1 + 3) + k(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}) = 2 $$

$$ 2 + k(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}) = 2 \implies k(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}) = 0 $$

点 $C$ は平面 $DAB$ 上にないため、$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} \neq 0$ である。したがって $k=0$ となる。

これは、点 $E$ が平面 $DAB$ 上にあり、点 $H$ に一致することを示している。よって、

$$ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) $$

であり、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ に注意して大きさを計算すると、

$$ |\overrightarrow{AE}|^2 = \frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2) = \frac{1}{4}(1^2 + 3^2) = \frac{5}{2} $$

$$ |\overrightarrow{AE}| = \frac{\sqrt{10}}{2} $$

となる。

解説

空間内の4点から等距離にある点（四面体の外接球の中心）を求める典型問題である。基本的には解法1のように、一つの頂点を始点とする3つの一次独立なベクトルを設定し、中心の位置ベクトルをそれらの一次結合で表して内積から係数を決定する手法が確実であり汎用性が高い。一方で、本問は $\angle DAB = 90^\circ$ という特殊な条件が含まれており、解法2のように幾何的な性質を利用すると、実は外心が底面の直角三角形の斜辺の中点に一致してしまうという美しい結論が導かれる。結果的に計算量が大幅に削減されるため、図形的な特徴に気づけた場合はこのアプローチが非常に強力である。