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京都大学 1991年理系第4問解説

方針・初手

与えられた不等式を左側と右側の2つの不等式に分けて証明する。左側は両辺が $0$ 以上であることを確認したうえで平方の差をとり、右側はそのまま差をとる。どちらも三角関数の加法定理や積和・和積の公式を用いて、「和や差の形」から「積の形」へと式変形を行い、各因数の符号を判定して $0$ 以上であることを示すのが定石である。また、右側の不等式については、関数 $y=\tan x$ のグラフの凸性を利用して簡潔に証明することも可能である。

解法1

不等式を左側と右側に分け、それぞれの差が $0$ 以上になることを示す。前提として、$0 \leqq a < \frac{\pi}{4}, 0 \leqq b < \frac{\pi}{4}$ より、$0 \leqq a+b < \frac{\pi}{2}$ および $-\frac{\pi}{4} < a-b < \frac{\pi}{4}$ であることに注意する。

(1) 右側の不等式の証明

$$ \frac{1}{2}(\tan a + \tan b) - \tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \geqq 0 $$

を示す。左辺をサインとコサインを用いて表し、通分する。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin b}{\cos b}\right) - \frac{\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)} &= \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{2\cos a \cos b} - \frac{\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)} \\ &= \frac{\sin(a+b)}{2\cos a \cos b} - \frac{\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)} \end{aligned} $$

2倍角の公式 $\sin(a+b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)$ を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} \frac{2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)}{2\cos a \cos b} - \frac{\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)} &= \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \left\{ \frac{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\cos a \cos b} - \frac{1}{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)} \right\} \\ &= \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \frac{\cos^2\left(\frac{a+b}{2}\right) - \cos a \cos b}{\cos a \cos b \cos\left(\frac{a+b}{2}\right)} \end{aligned} $$

ここで、半角の公式と積和の公式より以下が成り立つ。

$$ \cos^2\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{1+\cos(a+b)}{2} $$

$$ \cos a \cos b = \frac{\cos(a+b) + \cos(a-b)}{2} $$

これらを分子に代入する。

$$ \cos^2\left(\frac{a+b}{2}\right) - \cos a \cos b = \frac{1+\cos(a+b)}{2} - \frac{\cos(a+b) + \cos(a-b)}{2} = \frac{1-\cos(a-b)}{2} $$

したがって、元の式は以下のように整理される。

$$ \frac{\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\{1-\cos(a-b)\}}{2\cos a \cos b \cos\left(\frac{a+b}{2}\right)} $$

$0 \leqq a < \frac{\pi}{4}, 0 \leqq b < \frac{\pi}{4}$ より $0 \leqq \frac{a+b}{2} < \frac{\pi}{4}$ であるから、$\sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \geqq 0$ かつ $\cos\left(\frac{a+b}{2}\right) > 0$ である。また $\cos a > 0, \cos b > 0$ であり、$\cos(a-b) \leqq 1$ より $1-\cos(a-b) \geqq 0$ である。よって、この式の値は $0$ 以上となる。ゆえに、$\tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \leqq \frac{1}{2}(\tan a + \tan b)$ が成り立つ。（等号成立は $a=b$ のとき）

(2) 左側の不等式の証明

$$ \sqrt{\tan a \cdot \tan b} \leqq \tan \left(\frac{a+b}{2}\right) $$

を示す。条件より両辺ともに $0$ 以上であるため、両辺を2乗した差が $0$ 以上であることを示せばよい。

$$ \tan^2\left(\frac{a+b}{2}\right) - \tan a \tan b \geqq 0 $$

左辺をサインとコサインを用いて表す。

$$ \tan^2\left(\frac{a+b}{2}\right) - \tan a \tan b = \frac{\sin^2\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{a+b}{2}\right)} - \frac{\sin a \sin b}{\cos a \cos b} $$

半角の公式および積和の公式から、以下の置き換えを行う。 $\sin^2\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{1-\cos(a+b)}{2}$ $\cos^2\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{1+\cos(a+b)}{2}$ $\sin a \sin b = \frac{-\cos(a+b) + \cos(a-b)}{2}$ $\cos a \cos b = \frac{\cos(a+b) + \cos(a-b)}{2}$

これらを代入する。

$$ \frac{1-\cos(a+b)}{1+\cos(a+b)} - \frac{\cos(a-b) - \cos(a+b)}{\cos(a-b) + \cos(a+b)} $$

通分して分子を計算する。

$$ \begin{aligned} \text{分子} &= \{1-\cos(a+b)\}\{\cos(a-b) + \cos(a+b)\} - \{1+\cos(a+b)\}\{\cos(a-b) - \cos(a+b)\} \\ &= \{\cos(a-b) + \cos(a+b) - \cos(a+b)\cos(a-b) - \cos^2(a+b)\} \\ &\quad - \{\cos(a-b) - \cos(a+b) + \cos(a+b)\cos(a-b) - \cos^2(a+b)\} \\ &= 2\cos(a+b) - 2\cos(a+b)\cos(a-b) \\ &= 2\cos(a+b)\{1 - \cos(a-b)\} \end{aligned} $$

よって、差の式は次のようになる。

$$ \frac{2\cos(a+b)\{1 - \cos(a-b)\}}{\{1+\cos(a+b)\}\{\cos(a-b) + \cos(a+b)\}} $$

$0 \leqq a+b < \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos(a+b) > 0$ であり、$1+\cos(a+b) > 0$ である。また $-\frac{\pi}{4} < a-b < \frac{\pi}{4}$ より $\cos(a-b) > 0$ であるため、分母の $\cos(a-b) + \cos(a+b) > 0$ となる。さらに $1-\cos(a-b) \geqq 0$ である。したがって、この式の値は $0$ 以上となる。ゆえに $\tan^2\left(\frac{a+b}{2}\right) \geqq \tan a \tan b$ が成り立ち、両辺ともに $0$ 以上であることから平方根をとって $\sqrt{\tan a \cdot \tan b} \leqq \tan \left(\frac{a+b}{2}\right)$ が成り立つ。（等号成立は $a=b$ のとき）

(1), (2) より、与えられた不等式が成り立つことが示された。

解法2

(1) 右側の不等式の別解 右側の不等式は、関数 $f(x) = \tan x$ のグラフの凹凸を用いて証明できる。 $f(x) = \tan x$ とおいて第2次導関数を調べる。

$$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} $$

$$ f''(x) = -2(\cos x)^{-3} \cdot (-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x} $$

$0 \leqq x < \frac{\pi}{4}$ の範囲において、$\sin x \geqq 0, \cos x > 0$ であるから、$f''(x) \geqq 0$ が成り立つ。したがって、関数 $f(x) = \tan x$ は区間 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right)$ において下に凸である。下に凸な関数の性質より、区間内の任意の $a, b$ に対して

$$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqq \frac{f(a)+f(b)}{2} $$

が成り立つ。よって、$\tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \leqq \frac{1}{2}(\tan a + \tan b)$ が成り立つ。

解説

本問で示された不等式は、3つの値 $\tan a, \tan \left(\frac{a+b}{2}\right), \tan b$ の関係について、「積の平方根（相乗平均）$\leqq$ 中点の関数値 $\leqq$ 関数値の算術平均」という構造になっている。右側の不等式は、関数の「下に凸」という性質（イェンゼンの不等式）そのものを表しており、微積分を学んでいればグラフの概形から直感的に当たりをつけることができる。一方、左側の不等式や、代数的に解く方針を選んだ場合は、三角関数の公式（加法定理、2倍角・半角の公式、積和・和積の公式）を正確に使いこなす計算力が問われる。角度の変数を $a+b$ と $a-b$ に統一していくという目的意識を持って式変形を進めることが重要である。