京都大学 1993年 理系 第4問 解説

方針・初手

（1） は、積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における被積分関数の各因子の大きさを評価し、不等式を示します。その後、不等式の右辺の定積分を計算して $n \to \infty$ の極限を調べ、はさみうちの原理を用いて $\lim_{n \to \infty} b_n$ を求めます。 （2） は、$a_n$ の式と $b_n$ の式の形を見比べます。$(1+x)^{-n-1}$ を積分側、 $e^{x^2}$ を微分側として部分積分を行うことで、$a_n$ と $b_n$ の関係式を導くことができます。

解法1

(1)

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、$x \leqq 1$ であり、関数 $e^{x^2}$ は単調増加であるから $e^{x^2} \leqq e^1 = e$ が成り立つ。 したがって、これらの積について

$$ x e^{x^2} \leqq 1 \cdot e = e $$

が成り立つ。 また、この区間において $(1+x)^{-n} > 0$ であるから、両辺にこれを掛けて

$$ (1+x)^{-n} x e^{x^2} \leqq e (1+x)^{-n} $$

が成り立つ。 両辺を $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ \int_0^1 (1+x)^{-n} x e^{x^2} dx \leqq \int_0^1 e (1+x)^{-n} dx $$

すなわち、

$$ b_n \leqq e \cdot \int_0^1 (1+x)^{-n} dx $$

となり、題意の不等式が示された。

次に、$\lim_{n \to \infty} b_n$ を求める。 $0 \leqq x \leqq 1$ において $(1+x)^{-n} x e^{x^2} \geqq 0$ であるから、$b_n \geqq 0$ である。 ここで、不等式の右辺の積分を計算する。$n \geqq 2$ として計算すると、

$$ \begin{aligned} e \cdot \int_0^1 (1+x)^{-n} dx &= e \left[ \frac{(1+x)^{-n+1}}{-n+1} \right]_0^1 \\ &= e \left( \frac{2^{-n+1}}{-n+1} - \frac{1}{-n+1} \right) \\ &= \frac{e(1 - 2^{-n+1})}{n-1} \end{aligned} $$

となる。 $n \to \infty$ のとき、$2^{-n+1} \to 0$ であり、分母の $n-1 \to \infty$ となるため、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{e(1 - 2^{-n+1})}{n-1} = 0 $$

である。 したがって、

$$ 0 \leqq b_n \leqq \frac{e(1 - 2^{-n+1})}{n-1} $$

において、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n \to \infty} b_n = 0 $$

となる。

(2)

$a_n$ の定積分において、$(1+x)^{-n-1} = \left\{ \frac{(1+x)^{-n}}{-n} \right\}'$ と見て部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} a_n &= \int_0^1 (1+x)^{-n-1} e^{x^2} dx \\ &= \int_0^1 \left\{ \frac{(1+x)^{-n}}{-n} \right\}' e^{x^2} dx \\ &= \left[ \frac{(1+x)^{-n}}{-n} e^{x^2} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{(1+x)^{-n}}{-n} (e^{x^2})' dx \end{aligned} $$

ここで、$(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$ であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &= \left( \frac{2^{-n}}{-n} e - \frac{1}{-n} \cdot 1 \right) - \int_0^1 \frac{(1+x)^{-n}}{-n} \cdot 2x e^{x^2} dx \\ &= \frac{1 - e \cdot 2^{-n}}{n} + \frac{2}{n} \int_0^1 (1+x)^{-n} x e^{x^2} dx \end{aligned} $$

右辺の積分は $b_n$ そのものであるから、

$$ a_n = \frac{1 - e \cdot 2^{-n}}{n} + \frac{2}{n} b_n $$

となる。この式の両辺に $n$ を掛けると、

$$ n a_n = 1 - e \cdot 2^{-n} + 2 b_n $$

となる。 （1） より $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$ であり、また $\lim_{n \to \infty} 2^{-n} = 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n a_n &= \lim_{n \to \infty} (1 - e \cdot 2^{-n} + 2 b_n) \\ &= 1 - e \cdot 0 + 2 \cdot 0 \\ &= 1 \end{aligned} $$

となる。

解説

定積分で表された数列の極限を求める、頻出のテーマです。 （1） のような積分区間での不等式評価によるはさみうちの原理、および （2） のような部分積分を用いて別の積分（ここでは $b_n$）との漸化式・関係式を導く手法は、入試数学において非常に重要なテクニックです。 （2） で $\lim_{n \to \infty} a_n$ ではなく $\lim_{n \to \infty} n a_n$ が問われていることから、$a_n$ の式から $\frac{1}{n}$ を括り出せるような変形、すなわち $\frac{1}{-n} (1+x)^{-n}$ への積分を利用することが自然に発想できるようになります。

答え

(1)

（証明は解答群に示した通り） $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$

(2)

$1$