九州大学 1973年 理系 第3問 解説

方針・初手

定積分と台形の面積をそれぞれ計算し、被積分関数のグラフの凹凸を用いて大小関係を比較する問題である。 (1) では被積分関数 $y = x^\alpha$ の第2次導関数の符号を調べ、$\alpha$ の値によって凹凸が変わることに注意して場合分けを行う。$\alpha = -1$ の場合の積分計算の例外にも注意する。 (2) では (1) の結果を利用するため、与えられた複雑な式が $\sum_{k=1}^{n-1} S_k(\alpha)$ と $\sum_{k=1}^{n-1} T_k(\alpha)$ を用いてどのように表されるかを導く。

解法1

(1)

$S_n(\alpha)$ の計算について、$\alpha = -1$ と $\alpha \neq -1$ で場合分けを行う。

(i) $\alpha \neq -1$ のとき

$$S_n(\alpha) = \int_n^{n+1} x^\alpha dx = \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_n^{n+1} = \frac{(n+1)^{\alpha+1} - n^{\alpha+1}}{\alpha+1}$$

(ii) $\alpha = -1$ のとき

$$S_n(-1) = \int_n^{n+1} x^{-1} dx = \left[ \log x \right]_n^{n+1} = \log(n+1) - \log n$$

次に、$T_n(\alpha)$ は台形 $P_n P_{n+1} Q_{n+1} Q_n$ の面積であるから、平行な2辺の長さが $n^\alpha$ と $(n+1)^\alpha$、高さが $(n+1) - n = 1$ の台形として計算できる。

$$T_n(\alpha) = \frac{1}{2} \{ n^\alpha + (n+1)^\alpha \} \cdot 1 = \frac{n^\alpha + (n+1)^\alpha}{2}$$

続いて、$S_n(\alpha)$ と $T_n(\alpha)$ の大小関係を調べる。 関数 $f(x) = x^\alpha$ $(x > 0)$ とすると、第1次導関数および第2次導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}$$

$$f''(x) = \alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2}$$

$x > 0$ より $x^{\alpha-2} > 0$ であるため、$f''(x)$ の符号は $\alpha(\alpha-1)$ の符号と一致する。

(ア) $\alpha < 0$ または $\alpha > 1$ のとき

$f''(x) > 0$ となり、曲線 $y = f(x)$ は下に凸である。 このとき、曲線上の点 $(n, n^\alpha)$ と $(n+1, (n+1)^\alpha)$ を結ぶ線分は曲線のグラフよりも上側にあるため、台形の面積は定積分の値よりも大きくなる。 よって、$S_n(\alpha) < T_n(\alpha)$ である。

(イ) $0 < \alpha < 1$ のとき

$f''(x) < 0$ となり、曲線 $y = f(x)$ は上に凸である。 このとき、線分は曲線のグラフよりも下側にあるため、台形の面積は定積分の値よりも小さくなる。 よって、$S_n(\alpha) > T_n(\alpha)$ である。

(ウ) $\alpha = 0, 1$ のとき

$f''(x) = 0$ となり、曲線 $y = f(x)$ は直線となる。 曲線上の線分がグラフと一致するため、台形の面積と定積分の値は等しい。 よって、$S_n(\alpha) = T_n(\alpha)$ である。

(2)

与えられた式に含まれる $\sum_{k=2}^{n-1}$ の形から、$n \ge 2$ として考える（$n=2$ のとき $\sum_{k=2}^1$ の部分は $0$ とみなす）。

まず前半の大小関係を調べる。 (1) より、$\alpha \neq -1$ のとき、

$$S_k(\alpha) = \frac{(k+1)^{\alpha+1} - k^{\alpha+1}}{\alpha+1}$$

であり、$k=1$ から $n-1$ までの和をとると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} S_k(\alpha) = \frac{n^{\alpha+1} - 1}{\alpha+1}$$

となる。これを変形すると、

$$n^{\alpha+1} = 1 + (\alpha+1) \sum_{k=1}^{n-1} S_k(\alpha)$$

を得る。 また、$T_k(\alpha)$ についても同様に和をとると、

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1} T_k(\alpha) &= \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^\alpha + (k+1)^\alpha}{2} \\ &= \frac{1^\alpha + 2^\alpha}{2} + \frac{2^\alpha + 3^\alpha}{2} + \dots + \frac{(n-1)^\alpha + n^\alpha}{2} \\ &= \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} k^\alpha + \frac{n^\alpha}{2} \\ &= \frac{n^\alpha + 1}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} k^\alpha \end{aligned}$$

となる。ここで、比較すべき2つの式を $P, Q$ とおく。

$$P = n^{\alpha+1} = 1 + (\alpha+1) \sum_{k=1}^{n-1} S_k(\alpha)$$

$$Q = 1 + (\alpha + 1) \left( \frac{n^\alpha + 1}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} k^\alpha \right) = 1 + (\alpha+1) \sum_{k=1}^{n-1} T_k(\alpha)$$

この2式の差をとると、

$$Q - P = (\alpha+1) \sum_{k=1}^{n-1} \{ T_k(\alpha) - S_k(\alpha) \}$$

となる。$\sum_{k=1}^{n-1} \{ T_k(\alpha) - S_k(\alpha) \}$ の符号は、各 $k$ における $T_k(\alpha) - S_k(\alpha)$ の符号と同じであるため、(1) の結果を利用して $\alpha$ の範囲ごとに大小関係を判定できる。

(a) $\alpha < -1$ のとき

(1)より $T_k(\alpha) - S_k(\alpha) > 0$ であり、$\alpha+1 < 0$ であるから、$Q - P < 0$ すなわち $P > Q$ となる。

(b) $-1 < \alpha < 0$ または $\alpha > 1$ のとき

(1)より $T_k(\alpha) - S_k(\alpha) > 0$ であり、$\alpha+1 > 0$ であるから、$Q - P > 0$ すなわち $P < Q$ となる。

(c) $0 < \alpha < 1$ のとき

(1)より $T_k(\alpha) - S_k(\alpha) < 0$ であり、$\alpha+1 > 0$ であるから、$Q - P < 0$ すなわち $P > Q$ となる。

(d) $\alpha = 0, 1$ のとき

(1)より $T_k(\alpha) - S_k(\alpha) = 0$ であるから、$Q - P = 0$ すなわち $P = Q$ となる。

(e) $\alpha = -1$ のとき

元の式に $\alpha = -1$ を直接代入すると、$P = n^0 = 1$、$Q = 1 + 0 = 1$ となり、$P = Q$ である。

次に、後半の $\log n$ と $\frac{1+n}{2n} + \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k}$ との大小関係を調べる。 これは $\alpha = -1$ の場合に相当する。 (1)より、$S_k(-1) = \log(k+1) - \log k$ であるから、和をとると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} S_k(-1) = \log n - \log 1 = \log n$$

また、$T_k(-1) = \frac{k^{-1} + (k+1)^{-1}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \right)$ であるから、和をとると、

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1} T_k(-1) &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \right) \\ &= \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n} \\ &= \frac{n+1}{2n} + \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k} \end{aligned}$$

(1)の (ア) において $\alpha = -1$ のときは $S_k(-1) < T_k(-1)$ が成り立つので、各辺の和をとると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} S_k(-1) < \sum_{k=1}^{n-1} T_k(-1)$$

すなわち、

$$\log n < \frac{1+n}{2n} + \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k}$$

が成り立つ。

解説

関数のグラフの凹凸（第2次導関数の符号）を利用して、定積分（面積）と台形の面積の大小関係を比較する手法は頻出である。 (1)の計算結果を利用して、(2)の複雑な級数や数列の和の不等式を導出する流れをスムーズに汲み取れるかが鍵となる。また、積分計算において $\alpha = -1$ の場合（対数関数になる場合）の例外処理を忘れないように注意したい。

答え

(1)

$\alpha \neq -1$ のとき、$S_n(\alpha) = \frac{(n+1)^{\alpha+1} - n^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ $\alpha = -1$ のとき、$S_n(-1) = \log(n+1) - \log n$

$T_n(\alpha) = \frac{n^\alpha + (n+1)^\alpha}{2}$

大小関係は、 $\alpha < 0$ または $\alpha > 1$ のとき、$S_n(\alpha) < T_n(\alpha)$ $0 < \alpha < 1$ のとき、$S_n(\alpha) > T_n(\alpha)$ $\alpha = 0, 1$ のとき、$S_n(\alpha) = T_n(\alpha)$

(2)

$n \ge 2$ において、 $\alpha < -1$ または $0 < \alpha < 1$ のとき

$$n^{\alpha+1} > 1 + (\alpha + 1) \left( \frac{n^\alpha + 1}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} k^\alpha \right)$$

$-1 < \alpha < 0$ または $\alpha > 1$ のとき

$$n^{\alpha+1} < 1 + (\alpha + 1) \left( \frac{n^\alpha + 1}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} k^\alpha \right)$$

$\alpha = -1, 0, 1$ のとき

$$n^{\alpha+1} = 1 + (\alpha + 1) \left( \frac{n^\alpha + 1}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} k^\alpha \right)$$

$\log n$ との大小関係は、$n \ge 2$ において、

$$\log n < \frac{1+n}{2n} + \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k}$$