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京都大学 2000年理系第5問解説

方針・初手

(1) 定積分の漸化式を作る定石に従い、部分積分を繰り返し行います。三角関数は2回微分（または積分）すると元の形に戻る性質があるため、部分積分を2回適用することで $c_n$ を含む式を導き出します。

(2) $c_n$ の定義式に含まれる $(n+1)x^n$ を $(x^{n+1})'$ とみて部分積分を行うと、定数項と残りの定積分に分離できます。残った定積分は、被積分関数の大きさを評価してはさみうちの原理で極限を求めます。

(3) (2) の極限の結果を利用します。(1) で求めた関係式をうまく変形して代入することで、複雑な積分の評価を避けて極限を計算することができます。

解法1

(1)

$c_{n+2}$ の定義式に対して、部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} c_{n+2} &= (n+3) \int_0^1 x^{n+2} \cos \pi x dx \\ &= (n+3) \left( \left[ x^{n+2} \frac{\sin \pi x}{\pi} \right]_0^1 - \int_0^1 (n+2)x^{n+1} \frac{\sin \pi x}{\pi} dx \right) \end{aligned} $$

$\sin \pi = 0, \sin 0 = 0$ より第1項は $0$ となるため、

$$ c_{n+2} = - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi} \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx $$

となる。残った定積分に対して、さらにもう一度部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx &= \left[ x^{n+1} \left( - \frac{\cos \pi x}{\pi} \right) \right]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n \left( - \frac{\cos \pi x}{\pi} \right) dx \\ &= \left( 1^{n+1} \left( - \frac{\cos \pi}{\pi} \right) - 0 \right) + \frac{n+1}{\pi} \int_0^1 x^n \cos \pi x dx \\ &= \frac{1}{\pi} + \frac{n+1}{\pi} \int_0^1 x^n \cos \pi x dx \end{aligned} $$

これを $c_{n+2}$ の式に代入すると、

$$ c_{n+2} = - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi} \left( \frac{1}{\pi} + \frac{n+1}{\pi} \int_0^1 x^n \cos \pi x dx \right) $$

$$ c_{n+2} = - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2} - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2} (n+1) \int_0^1 x^n \cos \pi x dx $$

ここで、$c_n = (n+1) \int_0^1 x^n \cos \pi x dx$ であるから、

$$ c_{n+2} = - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2} - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2} c_n $$

すなわち、

$$ c_{n+2} = - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2} (c_n + 1) $$

となる。

(2)

$c_n$ の定義式において、$(n+1)x^n = (x^{n+1})'$ であることに着目して部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} c_n &= \int_0^1 (x^{n+1})' \cos \pi x dx \\ &= \left[ x^{n+1} \cos \pi x \right]_0^1 - \int_0^1 x^{n+1} (-\pi \sin \pi x) dx \\ &= (1 \cdot \cos \pi - 0) + \pi \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \\ &= -1 + \pi \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \end{aligned} $$

ここで、$0 \leqq x \leqq 1$ において $0 \leqq \sin \pi x \leqq 1$ であるから、

$$ 0 \leqq x^{n+1} \sin \pi x \leqq x^{n+1} $$

が成り立つ。両辺を $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ 0 \leqq \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \leqq \int_0^1 x^{n+1} dx $$

右辺の定積分を計算すると、

$$ \int_0^1 x^{n+1} dx = \left[ \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+2} $$

となるから、

$$ 0 \leqq \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \leqq \frac{1}{n+2} $$

となる。$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} = 0$ であるから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx = 0 $$

である。したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} c_n = -1 + \pi \cdot 0 = -1 $$

となる。

(3)

(2) より極限値 $c = -1$ である。求める極限は

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} - (-1)}{c_n - (-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} + 1}{c_n + 1} $$

である。ここで、(2) の計算過程より $c_n + 1 = \pi \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx$ であり、区間 $(0, 1)$ において被積分関数は常に正であるから、$c_n + 1 > 0$ である。よって分母が $0$ になることはない。

(1) で求めた関係式 $c_{n+2} = - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2} (c_n + 1)$ を $c_n + 1$ について解くと、

$$ c_n + 1 = - \frac{\pi^2}{(n+2)(n+3)} c_{n+2} $$

となる。これを用いて、求める極限の式の分母と分子をそれぞれ置き換えると、

$$ \begin{aligned} \frac{c_{n+1} + 1}{c_n + 1} &= \frac{ - \frac{\pi^2}{(n+3)(n+4)} c_{n+3} }{ - \frac{\pi^2}{(n+2)(n+3)} c_{n+2} } \\ &= \frac{(n+2)(n+3)}{(n+3)(n+4)} \cdot \frac{c_{n+3}}{c_{n+2}} \\ &= \frac{n+2}{n+4} \cdot \frac{c_{n+3}}{c_{n+2}} \end{aligned} $$

となる。ここで、$n \to \infty$ のとき

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{4}{n}} = 1 $$

また、(2) より $\lim_{n \to \infty} c_n = -1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} c_{n+2} = -1 \ (\neq 0)$ かつ $\lim_{n \to \infty} c_{n+3} = -1$ である。よって、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+3}}{c_{n+2}} = \frac{-1}{-1} = 1 $$

である。したがって、求める極限は

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} + 1}{c_n + 1} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+2}{n+4} \cdot \frac{c_{n+3}}{c_{n+2}} \right) = 1 \cdot 1 = 1 $$

となる。

解説

定積分の漸化式とはさみうちの原理を用いる、微分積分分野の典型的な融合問題です。 (3) はまともに定積分 $c_n + 1$ の漸近挙動を評価しようとすると高度な計算が必要になりますが、(1) で求めた漸化式を「$c_n + 1 = \cdots$」の形に整理して代入することで、多項式の極限と $c_n$ の極限の積に帰着させることができます。直前の設問の誘導をいかにうまく利用するかが問われています。