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京都大学 1973年理系第5問解説

方針・初手

$f(x)$ の式の形から、第2項以降がシグマ記号 $\sum$ を用いて表せること、および分母 $k(k+1)$ が部分分数分解 $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ できることに着目する。不等式の左側 $1 \leqq f(x)$ については導関数の符号変化を調べる方針、または変数の符号で場合分けして直接評価する方針が考えられる。右側 $f(x) < 2$ については、絶対値や単調性を利用して上からの評価を行う。

解法1

関数 $f(x)$ はシグマ記号を用いて次のように表せる。

$$ f(x) = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{x^{k+1}}{k(k+1)} $$

両辺を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = \sum_{k=1}^n \frac{k+1}{k(k+1)} x^k = \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k} $$

さらに $x$ で微分すると、

$$ f''(x) = \sum_{k=1}^n x^{k-1} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} $$

$f''(x)$ の符号を調べる。 $x=1$ のとき、

$$ f''(1) = \sum_{k=1}^n 1 = n > 0 $$

$x \neq 1$ のとき、等比数列の和の公式より、

$$ f''(x) = \frac{1-x^n}{1-x} $$

$-1 \leqq x < 1$ において、分母は $1-x > 0$ である。分子については、$x^n \leqq |x|^n \leqq 1$ より $1-x^n \geqq 0$ となる。したがって、$-1 \leqq x \leqq 1$ において常に $f''(x) \geqq 0$ が成り立つ。

これにより $f'(x)$ は単調増加関数であることがわかる。 $f'(0) = 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は以下のようになる。 $-1 \leqq x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ $0 < x \leqq 1$ のとき $f'(x) > 0$

ゆえに、$f(x)$ は $-1 \leqq x \leqq 1$ において $x=0$ で最小値をとる。

$$ f(x) \geqq f(0) = 1 $$

これで左側の不等式 $1 \leqq f(x)$ が示された。

次に最大値について考える。増減の様子から、$f(x)$ の最大値は端点 $x=-1$ または $x=1$ のいずれかでとる。両者の値を比較する。

$$ f(1) - f(-1) = \sum_{k=1}^n \frac{1 - (-1)^{k+1}}{k(k+1)} $$

$k$ が奇数のとき $1 - (-1)^{k+1} = 0$、偶数のとき $1 - (-1)^{k+1} = 2$ となるため、各項は $0$ 以上である。よって $f(1) \geqq f(-1)$ が成り立つ。したがって、$-1 \leqq x \leqq 1$ において $f(x) \leqq f(1)$ である。

$f(1)$ を部分分数分解を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} f(1) &= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} \\ &= 1 + \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\ &= 1 + \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= 2 - \frac{1}{n+1} \end{aligned} $$

$n$ は自然数であるから $\frac{1}{n+1} > 0$ であり、$f(1) < 2$ が成り立つ。よって、$f(x) \leqq f(1) < 2$ となり、右側の不等式も示された。

以上より、$-1 \leqq x \leqq 1$ において $1 \leqq f(x) < 2$ である。

解法2

微分を用いずに不等式評価を行う。 $f(x)$ は次のように表される。

$$ f(x) = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{x^{k+1}}{k(k+1)} $$

まず $f(x) < 2$ を示す。 $-1 \leqq x \leqq 1$ より $|x| \leqq 1$ であるから、三角不等式を用いて上から評価する。

$$ \begin{aligned} f(x) &\leqq 1 + \left| \sum_{k=1}^n \frac{x^{k+1}}{k(k+1)} \right| \\ &\leqq 1 + \sum_{k=1}^n \left| \frac{x^{k+1}}{k(k+1)} \right| \\ &= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{|x|^{k+1}}{k(k+1)} \\ &\leqq 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} \end{aligned} $$

ここで部分分数分解を用いると、

$$ \begin{aligned} 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} &= 1 + \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\ &= 1 + \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= 2 - \frac{1}{n+1} \end{aligned} $$

$n \geqq 1$ より $\frac{1}{n+1} > 0$ であるから、$2 - \frac{1}{n+1} < 2$ となる。したがって、$f(x) < 2$ が示された。

次に $1 \leqq f(x)$ を示す。

(i)

$0 \leqq x \leqq 1$ のとき

$x \geqq 0$ より $\frac{x^{k+1}}{k(k+1)} \geqq 0$ であるから、明らかである。

$$ f(x) = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{x^{k+1}}{k(k+1)} \geqq 1 $$

(ii)

$-1 \leqq x < 0$ のとき

$t = -x$ とおくと、$0 < t \leqq 1$ である。

$$ f(-t) = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{(-t)^{k+1}}{k(k+1)} $$

シグマの中の和を、$k=2m-1$（奇数）の項と $k=2m$（偶数）の項で2つずつペアにして考える。

$$ \frac{(-t)^{2m}}{(2m-1) \cdot 2m} + \frac{(-t)^{2m+1}}{2m \cdot (2m+1)} = \frac{t^{2m}}{2m(2m-1)} - \frac{t^{2m+1}}{2m(2m+1)} = \frac{t^{2m}}{2m} \left( \frac{1}{2m-1} - \frac{t}{2m+1} \right) $$

$0 < t \leqq 1$ より、

$$ \frac{1}{2m-1} - \frac{t}{2m+1} \geqq \frac{1}{2m-1} - \frac{1}{2m+1} = \frac{2}{(2m-1)(2m+1)} > 0 $$

となるため、各ペアの和は正である。 $n$ が偶数の場合はちょうど全ての項がペアになり、正の和となる。 $n$ が奇数の場合は、$(n-1)$ 個目までペアになり、最後の項 $k=n$（奇数）が単独で残る。このとき $n+1$ は偶数なので、

$$ \frac{(-t)^{n+1}}{n(n+1)} = \frac{t^{n+1}}{n(n+1)} > 0 $$

となり、やはり正である。したがって、$-1 \leqq x < 0$ においても $f(x) \geqq 1$ である。

（i）、（ii）より、$-1 \leqq x \leqq 1$ において $1 \leqq f(x)$ が示された。

以上より、$1 \leqq f(x) < 2$ である。