京都大学 2000年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) 空間ベクトル $\vec{c} = (x, y, z)$ と成分でおき、$\cos\alpha, \cos\beta$ を $x, y$ で表して代数的な不等式の証明に帰着させます。$\vec{c}$ の長さが $1$ であること（$x^2 + y^2 + z^2 = 1$）を利用して不等式を評価します。

(2) (1) で得られた不等式 $\cos^2\alpha - \cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta \leqq \frac{3}{4}$ が表す領域を考えます。和積・積和の公式を用いて因数分解する解法（解法1）と、$\cos\beta$ についての2次不等式とみて解く解法（解法2）の2通りを示します。

解法1

(1)

$\vec{c}$ は長さ $1$ の空間ベクトルであるから、$\vec{c} = (x, y, z)$ とおくと、

$$ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $$

が成り立つ。$\vec{a} = (1, 0, 0)$ であり、$\vec{b} = (\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}, 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ であるから、内積はそれぞれ

$$ \cos\alpha = \vec{a} \cdot \vec{c} = x $$

$$ \cos\beta = \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y $$

となる。不等式 $(*)$ の左辺にこれらを代入して整理すると、

$$ \begin{aligned} \cos^2\alpha - \cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta &= x^2 - x\left(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\right) + \left(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2 \\ &= x^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}xy + \frac{1}{4}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}xy + \frac{3}{4}y^2 \\ &= \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{4}y^2 \\ &= \frac{3}{4}(x^2 + y^2) \end{aligned} $$

ここで、$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ かつ $z^2 \geqq 0$ であるから、$x^2 + y^2 \leqq 1$ が成り立つ。 したがって、

$$ \frac{3}{4}(x^2 + y^2) \leqq \frac{3}{4} $$

となり、不等式 $(*)$ が成り立つことが示された。等号成立は $z=0$ のときである。

(2)

不等式 $(*)$ を移行して変形する。

$$ \cos^2\alpha - \cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta - \frac{3}{4} \leqq 0 $$

半角の公式と積和の公式を用いて変形する。

$$ \frac{1+\cos 2\alpha}{2} - \frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2} + \frac{1+\cos 2\beta}{2} - \frac{3}{4} \leqq 0 $$

両辺に $4$ を掛けて整理する。

$$ 2(1+\cos 2\alpha) - 2\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\} + 2(1+\cos 2\beta) - 3 \leqq 0 $$

$$ 1 + 2(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) - 2\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\} \leqq 0 $$

和積の公式 $\cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$ を用いると、

$$ 1 + 4\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) - 2\cos(\alpha+\beta) - 2\cos(\alpha-\beta) \leqq 0 $$

左辺は次のように因数分解できる。

$$ \{ 2\cos(\alpha+\beta) - 1 \} \{ 2\cos(\alpha-\beta) - 1 \} \leqq 0 \quad \cdots (A) $$

$0 \leqq \alpha \leqq \pi$, $0 \leqq \beta \leqq \pi$ において、角の取りうる範囲は

$$ 0 \leqq \alpha+\beta \leqq 2\pi, \quad -\pi \leqq \alpha-\beta \leqq \pi $$

であるから、不等式 $(A)$ は以下の （i） または （ii） を満たすことと同値である。

(i)

$\cos(\alpha+\beta) \geqq \frac{1}{2}$ かつ $\cos(\alpha-\beta) \leqq \frac{1}{2}$ のとき

$\cos(\alpha+\beta) \geqq \frac{1}{2}$ より、$0 \leqq \alpha+\beta \leqq \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} \leqq \alpha+\beta \leqq 2\pi$ $\cos(\alpha-\beta) \leqq \frac{1}{2}$ より、$-\pi \leqq \alpha-\beta \leqq -\frac{\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{3} \leqq \alpha-\beta \leqq \pi$ これを同時に満たす $(\alpha, \beta)$ は、後述する領域の境界上の4点 $(0, \frac{\pi}{3}), (\frac{\pi}{3}, 0), (\pi, \frac{2\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3}, \pi)$ のみとなり、領域としての内部を持たない。

(ii)

$\cos(\alpha+\beta) \leqq \frac{1}{2}$ かつ $\cos(\alpha-\beta) \geqq \frac{1}{2}$ のとき

$\cos(\alpha+\beta) \leqq \frac{1}{2}$ より、

$$ \frac{\pi}{3} \leqq \alpha+\beta \leqq \frac{5\pi}{3} $$

$\cos(\alpha-\beta) \geqq \frac{1}{2}$ より、

$$ -\frac{\pi}{3} \leqq \alpha-\beta \leqq \frac{\pi}{3} $$

これらを $\beta$ について解くと、

$$ \begin{cases} \beta \geqq -\alpha + \frac{\pi}{3} \\ \beta \leqq -\alpha + \frac{5\pi}{3} \\ \beta \geqq \alpha - \frac{\pi}{3} \\ \beta \leqq \alpha + \frac{\pi}{3} \end{cases} $$

となる。これら4つの不等式が表す領域は、$\alpha\beta$ 平面において4点 $(0, \frac{\pi}{3}), (\frac{\pi}{3}, 0), (\pi, \frac{2\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3}, \pi)$ を頂点とする平行四辺形の周および内部である。

解法2

(2) の別解

不等式 $(*)$ において、$X = \cos\alpha, Y = \cos\beta$ とおく。

$$ Y^2 - XY + X^2 - \frac{3}{4} \leqq 0 $$

これを $Y$ についての2次不等式とみて解の公式を用いると、

$$ \frac{X - \sqrt{X^2 - 4(X^2 - \frac{3}{4})}}{2} \leqq Y \leqq \frac{X + \sqrt{X^2 - 4(X^2 - \frac{3}{4})}}{2} $$

$$ \frac{X - \sqrt{3(1 - X^2)}}{2} \leqq Y \leqq \frac{X + \sqrt{3(1 - X^2)}}{2} $$

ここで $X = \cos\alpha$ （$0 \leqq \alpha \leqq \pi$）であるから、$1 - X^2 = \sin^2\alpha$ であり、$\sin\alpha \geqq 0$ より $\sqrt{1 - X^2} = \sin\alpha$ となる。これを代入すると、

$$ \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \leqq \cos\beta \leqq \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $$

三角関数の加法定理（$\cos(\alpha \pm \frac{\pi}{3}) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{3} \mp \sin\alpha\sin\frac{\pi}{3}$）を用いると、

$$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) \leqq \cos\beta \leqq \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) $$

となる。関数 $y = \cos x$ は $0 \leqq x \leqq \pi$ において単調減少であることに注意して $\beta$ の範囲を求める。

(ア)

$0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき $-\frac{\pi}{3} \leqq \alpha - \frac{\pi}{3} \leqq 0$ であるから、$\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ であり、$0 \leqq \frac{\pi}{3} - \alpha \leqq \frac{\pi}{3} \subset [0, \pi]$。 よって、$\cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) \leqq \cos\beta \leqq \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ となり、$\cos$ の単調減少性より

$$ \frac{\pi}{3} - \alpha \leqq \beta \leqq \alpha + \frac{\pi}{3} $$

(イ)

$\frac{\pi}{3} \leqq \alpha \leqq \frac{2\pi}{3}$ のとき $0 \leqq \alpha - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{\pi}{3}$、$\frac{2\pi}{3} \leqq \alpha + \frac{\pi}{3} \leqq \pi$ より、どちらの角も $[0, \pi]$ に含まれる。 よって、

$$ \alpha - \frac{\pi}{3} \leqq \beta \leqq \alpha + \frac{\pi}{3} $$

(ウ)

$\frac{2\pi}{3} \leqq \alpha \leqq \pi$ のとき $\pi \leqq \alpha + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4\pi}{3}$ であるから、$\cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \cos(2\pi - (\alpha + \frac{\pi}{3})) = \cos(\frac{5\pi}{3} - \alpha)$ であり、$\frac{2\pi}{3} \leqq \frac{5\pi}{3} - \alpha \leqq \pi \subset [0, \pi]$。 よって、$\cos(\frac{5\pi}{3} - \alpha) \leqq \cos\beta \leqq \cos(\alpha - \frac{\pi}{3})$ となり、

$$ \alpha - \frac{\pi}{3} \leqq \beta \leqq \frac{5\pi}{3} - \alpha $$

(ア)〜(ウ) で求めた不等式を図示すると、$\alpha\beta$ 平面において4点 $(0, \frac{\pi}{3}), (\frac{\pi}{3}, 0), (\pi, \frac{2\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3}, \pi)$ を頂点とする平行四辺形の周および内部となる。

解説

(1) は空間ベクトルの成分表示を利用する標準的な問題です。ベクトル $\vec{c}$ の自由度を $x, y, z$ という成分に落とし込み、「長さが $1$」という制約を $x^2 + y^2 + z^2 = 1 \implies x^2 + y^2 \leqq 1$ という不等式評価に利用する発想がポイントです。

(2) は三角関数の不等式の処理が問われます。解法1のように和積・積和の公式を駆使して完全に因数分解してしまうのが最も見通しが良くエレガントです。一方、解法2のように片方の文字についての2次不等式とみなして解の公式を用いる手法も、実戦的で確実なアプローチです。どちらの方法でも正しく領域を導けるようにしておきましょう。

答え

(1)

略（解答群の通り）

(2)

$\alpha\beta$ 平面において、4点 $\left(0, \frac{\pi}{3}\right), \left(\frac{\pi}{3}, 0\right), \left(\pi, \frac{2\pi}{3}\right), \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right)$ を頂点とする平行四辺形の周および内部。