京都大学 2003年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた対数の関係式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるのが第一歩です。 対数の性質を用いて真数の関係式（漸化式）を導くか、与式の両辺で $n$ についての和をとることで一般項 $a_n$ を求めます。一般項が求まれば、部分分数分解を利用して和を計算する典型的な流れになります。

解法1

条件 (ii) より、$n \geqq 2$ のとき

$$ \log a_n - \log a_{n-1} = \log(n-1) - \log(n+1) $$

対数の性質を用いてまとめる（$\{a_n\}$ は正の数からなる数列であるため真数条件を満たす）。

$$ \log \frac{a_n}{a_{n-1}} = \log \frac{n-1}{n+1} $$

これより、真数を比較して

$$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{n-1}{n+1} $$

よって、$a_n = \dfrac{n-1}{n+1} a_{n-1}$（$n \geqq 2$）を得る。$n \geqq 2$ のとき、この漸化式を繰り返し用いると

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{n-1}{n+1} a_{n-1} \\ &= \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{n-2}{n} a_{n-2} \\ &= \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-3}{n-1} \cdots \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} a_1 \end{aligned}$$

分子と分母で共通する因数を約分すると、分子には $2 \cdot 1$ が残り、分母には $(n+1) \cdot n$ が残る。 また、条件 (i) より $a_1 = 1$ であるから

$$ a_n = \frac{2}{n(n+1)} $$

この式において $n = 1$ とすると $a_1 = \dfrac{2}{2} = 1$ となり条件 (i) を満たすため、$n=1$ のときも成り立つ。 したがって、すべての自然数 $n$ について $a_n = \dfrac{2}{n(n+1)}$ である。求める和は、部分分数分解を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= \sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)} \\ &= 2 \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\ &= 2 \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right\} \\ &= 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= \frac{2n}{n+1} \end{aligned}$$

解法2

条件 (ii) において、$k \geqq 2$ として $k$ を $2$ から $n$ まで足し合わせる。

$$ \sum_{k=2}^n (\log a_k - \log a_{k-1}) = \sum_{k=2}^n \{ \log(k-1) - \log(k+1) \} $$

左辺は、隣り合う項が打ち消し合うため

$$\begin{aligned} \text{(左辺)} &= (\log a_2 - \log a_1) + (\log a_3 - \log a_2) + \cdots + (\log a_n - \log a_{n-1}) \\ &= \log a_n - \log a_1 \end{aligned}$$

条件 (i) より $a_1 = 1$ であるから、左辺は $\log a_n$ となる。右辺も同様に整理する。

$$\begin{aligned} \text{(右辺)} &= (\log 1 - \log 3) + (\log 2 - \log 4) + (\log 3 - \log 5) + \cdots \\ & \quad \cdots + \{ \log(n-2) - \log n \} + \{ \log(n-1) - \log(n+1) \} \\ &= \log 1 + \log 2 - \log n - \log(n+1) \\ &= \log \frac{2}{n(n+1)} \end{aligned}$$

左辺と右辺を等置して $\log a_n = \log \dfrac{2}{n(n+1)}$ より、$n \geqq 2$ のとき $a_n = \dfrac{2}{n(n+1)}$ となる。 $n=1$ のときも成り立つことは解法1と同様。以降の和の計算も解法1と同様である。

解説

階差数列の形や、隣接項の商の形を用いた漸化式の典型的な処理方法を問う問題です。 解法1のように真数の比に直して積の形から約分するか、解法2のように対数のまま足し合わせて項を打ち消し合わせるか、どちらかを選べばスムーズに一般項 $a_n$ を求めることができます。 途中、約分や項の打ち消し合いが発生する際、初めと終わりの「2項ずつ」が残る形になる点に見落としがないよう注意が必要です。

答え

$$ \frac{2n}{n+1} $$