大阪大学 1998年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) 不等式の証明は、左辺と中辺、中辺と右辺のそれぞれの差をとって微分し、関数の増減を調べるのが基本方針となる。右側の不等式については、1階微分だけでは符号が定まらないため、2階微分まで調べる必要がある。

(2) 与えられた数列 $a_n$ は $n$ 乗の形をしているため、自然対数をとることで (1) の不等式が利用できる形に持ち込むことができる。(1) の不等式に適切な $a, x$ を代入し、はさみうちの原理を用いて極限を求める。

解法1

(1)

左側の不等式 $\log 2 + \frac{x}{2} \log a \leqq \log(1+a^x)$ について示す。

$x \geqq 0$ に対して、関数 $f(x)$ を次のように定める。

$$ f(x) = \log(1+a^x) - \left( \log 2 + \frac{x}{2} \log a \right) $$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{a^x \log a}{1+a^x} - \frac{\log a}{2} \\ &= \frac{2a^x - (1+a^x)}{2(1+a^x)} \log a \\ &= \frac{a^x - 1}{2(1+a^x)} \log a \end{aligned} $$

となる。条件より $a > 1$ であるから $\log a > 0$ である。また、$x \geqq 0$ のとき $a^x \geqq 1$ であるため、$a^x - 1 \geqq 0$ となる。 したがって、$x \geqq 0$ において $f'(x) \geqq 0$ となり、$f(x)$ は単調に増加する。

ここで、$x=0$ のときを計算すると、

$$ f(0) = \log(1+1) - \log 2 - 0 = 0 $$

であるから、$x \geqq 0$ において $f(x) \geqq f(0) = 0$ が成り立つ。 よって、左側の不等式は示された。

次に、右側の不等式 $\log(1+a^x) \leqq \log 2 + \frac{x}{2} \log a + \frac{x^2}{8} (\log a)^2$ について示す。

$x \geqq 0$ に対して、関数 $g(x)$ を次のように定める。

$$ g(x) = \log 2 + \frac{x}{2} \log a + \frac{x^2}{8} (\log a)^2 - \log(1+a^x) $$

$g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ g'(x) = \frac{\log a}{2} + \frac{x}{4} (\log a)^2 - \frac{a^x \log a}{1+a^x} $$

となる。さらに $g'(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} g''(x) &= \frac{1}{4} (\log a)^2 - \frac{a^x (\log a) \cdot \log a \cdot (1+a^x) - a^x \log a \cdot a^x \log a}{(1+a^x)^2} \\ &= \frac{1}{4} (\log a)^2 - \frac{a^x (\log a)^2}{(1+a^x)^2} \\ &= \frac{(\log a)^2}{4} \left\{ 1 - \frac{4a^x}{(1+a^x)^2} \right\} \\ &= \frac{(\log a)^2}{4} \cdot \frac{(1+a^x)^2 - 4a^x}{(1+a^x)^2} \\ &= \frac{(\log a)^2}{4} \cdot \frac{(a^x - 1)^2}{(1+a^x)^2} \end{aligned} $$

となる。すべての実数 $x$ に対して $(a^x - 1)^2 \geqq 0$ であり、$a > 1$ より $\log a \neq 0$ であるから、$x \geqq 0$ において $g''(x) \geqq 0$ が成り立つ。 したがって、$g'(x)$ は $x \geqq 0$ において単調に増加する。

ここで、$x=0$ のときを計算すると、

$$ g'(0) = \frac{\log a}{2} + 0 - \frac{1 \cdot \log a}{1+1} = 0 $$

であるから、$x \geqq 0$ において $g'(x) \geqq g'(0) = 0$ が成り立つ。 したがって、$g(x)$ も $x \geqq 0$ において単調に増加する。

さらに、$x=0$ のときを計算すると、

$$ g(0) = \log 2 + 0 + 0 - \log(1+1) = 0 $$

であるから、$x \geqq 0$ において $g(x) \geqq g(0) = 0$ が成り立つ。 よって、右側の不等式も示された。

以上より、$x \geqq 0$ に対して与えられた不等式が成り立つことが示された。

(2)

与えられた数列 $a_n$ は、

$$ a_n = \left( \frac{1 + \sqrt[n]{3}}{2} \right)^n = \left( \frac{1 + 3^{\frac{1}{n}}}{2} \right)^n $$

である。$a_n > 0$ であるから、両辺の自然対数をとると、

$$ \log a_n = n \log \left( \frac{1 + 3^{\frac{1}{n}}}{2} \right) = n \left\{ \log \left( 1 + 3^{\frac{1}{n}} \right) - \log 2 \right\} $$

となる。 (1) で示した不等式において、$a=3$、$x=\frac{1}{n}$ とおく。 $3 > 1$ であり、また $n$ は自然数であるから $\frac{1}{n} > 0$ となり、(1) の条件を満たす。 代入すると、

$$ \log 2 + \frac{1}{2n} \log 3 \leqq \log \left( 1 + 3^{\frac{1}{n}} \right) \leqq \log 2 + \frac{1}{2n} \log 3 + \frac{1}{8n^2} (\log 3)^2 $$

となる。各辺から $\log 2$ を引くと、

$$ \frac{1}{2n} \log 3 \leqq \log \left( 1 + 3^{\frac{1}{n}} \right) - \log 2 \leqq \frac{1}{2n} \log 3 + \frac{1}{8n^2} (\log 3)^2 $$

となる。各辺に正の数 $n$ を掛けると、

$$ \frac{1}{2} \log 3 \leqq n \left\{ \log \left( 1 + 3^{\frac{1}{n}} \right) - \log 2 \right\} \leqq \frac{1}{2} \log 3 + \frac{1}{8n} (\log 3)^2 $$

すなわち、

$$ \frac{1}{2} \log 3 \leqq \log a_n \leqq \frac{1}{2} \log 3 + \frac{1}{8n} (\log 3)^2 $$

が成り立つ。ここで、$n \to \infty$ とすると、

$$ \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{2} \log 3 + \frac{1}{8n} (\log 3)^2 \right\} = \frac{1}{2} \log 3 $$

となる。よって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \log a_n = \frac{1}{2} \log 3 = \log 3^{\frac{1}{2}} = \log \sqrt{3} $$

が成り立つ。対数関数は連続であるため、

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{3} $$

となる。

解説

(1) の不等式は、関数 $h(x) = \log(1+a^x)$ を $x=0$ のまわりでマクローリン展開（テイラー展開）した際の一次近似および二次近似に関連している。証明の手法としては、両辺の差をとって導関数を求め、関数の増減を調べるという微分法の基本的なアプローチが確実である。特に右側の不等式は一階微分だけでは符号が判定しきれないため、二階微分まで行う必要がある。

(2) は、(1) の不等式を利用して極限を求める典型的な誘導問題である。「累乗の形の極限は対数をとる」という定石に従うことで、(1) で証明した不等式の中央の項と形が一致することに気づきやすくなる。極限の計算では、不等式を利用した「はさみうちの原理」が有効に働く。

答え

(1)

略（証明は解法を参照）

(2)

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{3} $$