京都大学 2003年 理系 第2問 解説

方針・初手

$f(x)$ の導関数を計算し、与えられた点における法線の方程式を求めます。回転体の体積公式 $V = \pi \int y^2\, dx$ を用いて立式し、半角の公式と部分積分を繰り返し適用して計算を進めます。

解法1

関数 $f(x) = x \sin x$ を微分すると

$$ f'(x) = \sin x + x \cos x $$

点 $\left(\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{\pi}{2}\right)$ における接線の傾きは

$$ f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} = 1 $$

したがって法線の傾きは $-1$ であり、法線の方程式は

$$ y = -x + \pi $$

区間 $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ において、法線 $y = -x+\pi$ の $y$ 座標は $\dfrac{\pi}{2} \leqq y \leqq \pi$ であるのに対し、曲線 $y = x\sin x$ の $y$ 座標は $y \leqq \dfrac{\pi}{2}$ である。よってこの区間で法線が曲線の上側にある。

求める回転体の体積 $V$ は

$$ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-x + \pi)^2\, dx - \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x \sin x)^2\, dx $$

第1項を $V_1$、第2項を $V_2$ としてそれぞれ計算する。

$$\begin{aligned} V_1 &= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x - \pi)^2\, dx \\ &= \pi \left[ \frac{(x - \pi)^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\pi}{3} \left\{ \left(-\frac{\pi}{2}\right)^3 - (-\pi)^3 \right\} \\ &= \frac{\pi}{3} \left( -\frac{\pi^3}{8} + \pi^3 \right) \\ &= \frac{7}{24}\pi^4 \end{aligned}$$

次に $V_2$ を計算する。半角の公式 $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて次数を下げる。

$$\begin{aligned} V_2 &= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin^2 x\, dx \\ &= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\, dx - \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos 2x\, dx \end{aligned}$$

前半の積分は

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\, dx = \frac{\pi^3}{24} $$

後半の積分は部分積分を2回行って

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos 2x\, dx &= \left[ x^2 \cdot \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2x\, dx \\ &= 0 - \left( \left[ x \cdot \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{2}\, dx \right) \\ &= -\left( \frac{\pi}{4} + \left[ \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \right) \\ &= -\frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

これらを代入して

$$ V_2 = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi^3}{24} - \frac{\pi}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi^4}{48} + \frac{\pi^2}{8} $$

よって

$$\begin{aligned} V &= V_1 - V_2 \\ &= \frac{7}{24}\pi^4 - \frac{\pi^4}{48} - \frac{\pi^2}{8} \\ &= \frac{13}{48}\pi^4 - \frac{1}{8}\pi^2 \end{aligned}$$

解説

図形の上下関係は「法線は $y \geqq \dfrac{\pi}{2}$、曲線は $y \leqq \dfrac{\pi}{2}$」から直ちに分かります。後半の $x^2 \sin^2 x$ の積分は、(1) 半角の公式で次数を下げる (2) $x^2 \cos 2x$ に対して部分積分を2回実行する、という定石計算です。符号のミスや係数のつけ忘れが起こりやすい箇所なので注意が必要です。

答え

$$ \frac{13}{48}\pi^4 - \frac{1}{8}\pi^2 $$