北海道大学 1975年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) は、対数関数の性質を用いて式を整理してから $x$ で微分し、逆関数の微分法 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ を利用する。

(2) は、部分積分法を2回繰り返すことで $I_n$ を出現させる漸化式作成の典型的な手法を用いる。

解法1

(1)

対数の真数条件より $\frac{2+x}{2-x} > 0$ であるから、不等式を解いて $-2 < x < 2$ である。

与えられた関数を変形すると、

$$ y = \frac{1}{2} \log \frac{2+x}{2-x} = \frac{1}{2} \{ \log (2+x) - \log (2-x) \} $$

となる。両辺を $x$ で微分すると、

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2+x} - \frac{-1}{2-x} \right) $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2+x} + \frac{1}{2-x} \right) $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2-x) + (2+x)}{(2+x)(2-x)} = \frac{2}{4-x^2} $$

$-2 < x < 2$ の範囲において $4-x^2 > 0$ であり、$\frac{dy}{dx} \neq 0$ であるから、逆関数の微分法を用いることができる。

$$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{4-x^2}{2} $$

(2)

部分積分法を用いて $I_{n+2}$ を変形していく。

$$ I_{n+2} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^{n+2} \sin x dx $$

$$ I_{n+2} = \left[ x^{n+2} (-\cos x) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (n+2)x^{n+1} (-\cos x) dx $$

$\cos\left(\pm\frac{\pi}{2}\right) = 0$ であるから、第一項は $0$ となる。

$$ I_{n+2} = (n+2) \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^{n+1} \cos x dx $$

さらにもう一度、部分積分法を用いる。

$$ I_{n+2} = (n+2) \left( \left[ x^{n+1} \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (n+1)x^n \sin x dx \right) $$

$$ I_{n+2} = (n+2) \left[ x^{n+1} \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - (n+1)(n+2) I_n $$

ここで、第一項の定数部分を計算する。問題の条件より $n$ は正の奇数であるから、$n+1$ は正の偶数である。 したがって、$x^{n+1}$ は偶関数となり、$\left( -\frac{\pi}{2} \right)^{n+1} = \left( \frac{\pi}{2} \right)^{n+1}$ が成り立つ。

$$ \left[ x^{n+1} \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} \right)^{n+1} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right)^{n+1} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ \left[ x^{n+1} \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} \right)^{n+1} \cdot 1 - \left( \frac{\pi}{2} \right)^{n+1} \cdot (-1) = 2 \left( \frac{\pi}{2} \right)^{n+1} $$

これを先ほどの式に代入して整理する。

$$ I_{n+2} = 2(n+2) \left( \frac{\pi}{2} \right)^{n+1} - (n+1)(n+2) I_n $$

解説

(1) は微分計算の基本問題である。平方根や分数が含まれる対数関数は、微分を実行する前に対数の性質 $\log \sqrt{A} = \frac{1}{2} \log A$ や $\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ を用いて展開しておくと、合成関数の微分の計算量が劇的に簡略化され、ミスを防ぐことができる。また、逆関数の微分法を用いる際の前提として $\frac{dy}{dx} \neq 0$ となることの確認も記述しておきたい。

(2) は部分積分を用いた漸化式の作成という頻出テーマである。三角関数と多項式の積の定積分では、三角関数側を積分して部分積分を繰り返すことで多項式の次数を下げていくのが定石である。今回は次数を2つ下げるために2回の部分積分が必要となる。途中の端点代入の計算において、$n$ が奇数である（すなわち $n+1$ が偶数である）という条件を用いて符号を正しく処理することが完答の鍵となる。

答え

(1)

$$ \frac{dx}{dy} = \frac{4-x^2}{2} $$

(2)

$$ I_{n+2} = 2(n+2) \left( \frac{\pi}{2} \right)^{n+1} - (n+1)(n+2) I_n $$