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京都大学 2015年理系第3問解説

方針・初手

(1) 曲線上の点 $(t,\ e^t+1)$ における接線の方程式を立て、それが点 $(a,\ 0)$ を通るという条件を $t$ についての方程式として表します。この方程式が実数解をただ 1 つ持つことを、関数の増減を用いて示します。定数 $a$ を分離する形に変形すると見通しが良くなります。
(2) (1) で立てた方程式から $a_n$ と $a_{n+1}$ の関係式（漸化式）を導きます。$a_{n+1} - a_n$ を $a_{n+1}$ の式で表し、数列 $\{a_n\}$ の極限を調べて与式の極限を計算します。

解法1

(1)

$y = e^x + 1$ を微分すると $y' = e^x$ である。曲線上の点 $(t,\ e^t+1)$ における接線の方程式は、

$$ y = e^t(x - t) + e^t + 1 = e^t x - te^t + e^t + 1 $$

この接線が点 $(a,\ 0)$ を通るから、

$$ 0 = e^t a - te^t + e^t + 1 \implies e^t(t - a - 1) = 1 $$

両辺を $e^t\ (>0)$ で割ると、

$$ t - a - 1 = e^{-t} \implies a = t - 1 - e^{-t} $$

ここで $f(t) = t - 1 - e^{-t}$ とおくと、

$$ f'(t) = 1 + e^{-t} $$

すべての実数 $t$ において $e^{-t} > 0$ であるから $f'(t) > 0$ となり、$f(t)$ は単調増加関数である。

また、$\displaystyle\lim_{t \to \infty} f(t) = \infty$、$\displaystyle\lim_{t \to -\infty} f(t) = -\infty$ であるから、$f(t)$ の値域は実数全体である。

ゆえに、任意の実数 $a$ に対して $f(t) = a$ を満たす実数 $t$ がただ 1 つ存在する。

これは、$(a,\ 0)$ を通り $y = e^x + 1$ に接する直線がただ 1 つ存在することを示している。$\square$

(2)

(1) の結果より、点 $(a_n,\ 0)$ を通り $y = e^x + 1$ に接する直線の接点の $x$ 座標 $a_{n+1}$ は、方程式 $f(t) = a_n$ の唯一の解である。

すなわち $f(a_{n+1}) = a_n$ が成り立つから、

$$ a_{n+1} - 1 - e^{-a_{n+1}} = a_n $$

これを変形すると、

$$ a_{n+1} - a_n = 1 + e^{-a_{n+1}} \quad \cdots \text{①} $$

すべての実数 $x$ において $e^x > 0$ であるから $e^{-a_{n+1}} > 0$。したがって ① より、

$$ a_{n+1} - a_n > 1 $$

これより数列 $\{a_n\}$ は単調増加であり、$a_1 = 1$ と合わせると、$n \geq 2$ のとき

$$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) > 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = n $$

（$n = 1$ のとき $a_1 = 1 \geq 1$ であるから、$a_n \geq n$ はすべての自然数 $n$ で成り立つ。）

はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ となり、

$$ \lim_{n \to \infty} e^{-a_{n+1}} = 0 $$

ゆえに、① より

$$ \lim_{n \to \infty}(a_{n+1} - a_n) = \lim_{n \to \infty}(1 + e^{-a_{n+1}}) = 1 + 0 = \mathbf{1} $$

解説

接線の本数問題から極限へと繋がる、微積分の標準的な融合問題です。

(1) では、接点の $x$ 座標を $t$ とおいて方程式を立てた後、「$a = \cdots$ の形に定数分離する」方針をとると、$f'(t) = 1 + e^{-t} > 0$ となり増減の調査が非常にシンプルになります。

(2) は漸化式がそのまま「隣り合う項の差」の形になっていることに気づけば、$a_{n+1} - a_n > 1$ から $a_n \geq n$ を経て $a_n \to \infty$ を示すことができます。差分が常に 1 より大きいことから正の無限大へ発散することを厳密に記述するのがポイントです。