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京都大学 2015年理系第2問解説

方針・初手

四角形の内接円の中心と各頂点を結び、四角形を 4 つの凧形（8 つの直角三角形）に分割して面積を考えます。
各頂点の内角の半分の角度を文字で置き、四角形の面積を三角関数を用いて定式化します。
条件 (a) から特定の角の大きさが決まるため、残りの角に関する 1 変数の最小値問題に帰着させ、相加・相乗平均の関係を用いて最小値を求めます。

解法1

四角形を ABCD、その内接円の中心を O とし、円 O が辺 AB, BC, CD, DA と接する点をそれぞれ P, Q, R, S とする。

内接円の半径は 1 であるから、$\text{OP} = \text{OQ} = \text{OR} = \text{OS} = 1$ かつ $\text{OP} \perp \text{AB}$、$\text{OQ} \perp \text{BC}$、$\text{OR} \perp \text{CD}$、$\text{OS} \perp \text{DA}$ である。

直角三角形 $\triangle\text{OAP}$ と $\triangle\text{OAS}$ において、斜辺 OA が共通で $\text{OP} = \text{OS} = 1$ であるから $\triangle\text{OAP} \equiv \triangle\text{OAS}$。したがって直線 OA は $\angle\text{A}$ の二等分線である。同様に OB, OC, OD はそれぞれ $\angle\text{B},\ \angle\text{C},\ \angle\text{D}$ の二等分線となる。

ここで、$\angle\text{A} = 2\alpha,\ \angle\text{B} = 2\beta,\ \angle\text{C} = 2\gamma,\ \angle\text{D} = 2\delta$ とおく（$0^\circ < \alpha, \beta, \gamma, \delta < 90^\circ$）。

四角形の内角の和は $360^\circ$ であるから、

$$ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ $$

直角三角形 $\triangle\text{OAP}$ において、$\text{AP} = \dfrac{\text{OP}}{\tan\alpha} = \dfrac{1}{\tan\alpha}$ であるから、$\triangle\text{OAP}$ の面積は $\dfrac{1}{2\tan\alpha}$。

四角形 APOS の面積は $\triangle\text{OAP}$ の 2 倍であるから $\dfrac{1}{\tan\alpha}$。同様に、他の 3 頂点付近の面積はそれぞれ $\dfrac{1}{\tan\beta},\ \dfrac{1}{\tan\gamma},\ \dfrac{1}{\tan\delta}$ と表せる。

したがって、四角形 ABCD の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{\tan\alpha} + \frac{1}{\tan\beta} + \frac{1}{\tan\gamma} + \frac{1}{\tan\delta} $$

条件 (a) より「少なくとも 2 つの内角は $90^\circ$」であるから、少なくとも 2 つの半角が $45^\circ$ である。式の対称性から、これを $\alpha = \beta = 45^\circ$ としても一般性を失わない。

このとき $\gamma + \delta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ すなわち $\delta = 90^\circ - \gamma$ が成り立つ。

面積の式に代入すると、$\tan 45^\circ = 1$ および $\dfrac{1}{\tan(90^\circ - \gamma)} = \tan\gamma$ より、

$$ S = 1 + 1 + \frac{1}{\tan\gamma} + \tan\gamma = 2 + \frac{1}{\tan\gamma} + \tan\gamma $$

$0^\circ < \gamma < 90^\circ$ より $\tan\gamma > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より、

$$ \tan\gamma + \frac{1}{\tan\gamma} \geq 2\sqrt{\tan\gamma \cdot \frac{1}{\tan\gamma}} = 2 $$

よって、

$$ S \geq 2 + 2 = 4 $$

等号が成立するのは $\tan^2\gamma = 1$ すなわち $\tan\gamma = 1$（$\gamma = 45^\circ$）のときであり、このとき $\delta = 45^\circ$ となる。

4 つの内角がすべて $90^\circ$ となる正方形（内接円の半径 1 より辺の長さ 2、面積 4）の場合であり、問題の条件を満たす。

以上より、面積の最小値は $\mathbf{4}$ である。

解説

円に外接する多角形の面積を、内接円の半径と頂点の半角を用いて表す定番の手法が鍵となる問題です。「少なくとも 2 つの角が直角」という条件が、隣り合う 2 角なのか向かい合う 2 角なのかで場合分けが必要に思えますが、内角の和の条件 $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ$ と面積の対称式構造に注目すれば、どの 2 角を選んでも本質的な計算式は変わらないことに気づけます。

その後は $\dfrac{1}{\tan(90^\circ - \theta)} = \tan\theta$ の公式で変数を 1 つにまとめ、相加・相乗平均の関係でスマートに最小値を導くことができます。