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東北大学 1972年理系第4問解説

方針・初手

3次関数のグラフとその接線との交点に関する問題である。点 $P_{n}$ から引いた接線の接点が $P_{n+1}$ となることに注意し、まずは点 $P_1$ における接線が点 $P_0$ を通るという条件から、$x_0$ と $x_1$ の関係式を導く。その際、接線の方程式を直接求めて代入する方法と、3次方程式の解と係数の関係（または恒等式）を利用する方法があるが、後者の方が計算が簡潔に済む。

解法1

(1) $f(x) = x^3 - x^2$ とおく。$f'(x) = 3x^2 - 2x$ であるから、接点 $P_1(x_1, x_1^3 - x_1^2)$ における接線の方程式は、

$$ y - (x_1^3 - x_1^2) = (3x_1^2 - 2x_1)(x - x_1) $$

すなわち、

$$ y = (3x_1^2 - 2x_1)x - 2x_1^3 + x_1^2 $$

となる。この接線が点 $P_0(x_0, x_0^3 - x_0^2)$ を通るから、

$$ x_0^3 - x_0^2 = (3x_1^2 - 2x_1)x_0 - 2x_1^3 + x_1^2 $$

移項して整理すると、

$$ (x_0^3 - x_1^3) - (x_0^2 - x_1^2) - (3x_1^2 - 2x_1)(x_0 - x_1) = 0 $$

$$ (x_0 - x_1)(x_0^2 + x_0 x_1 + x_1^2) - (x_0 - x_1)(x_0 + x_1) - (3x_1^2 - 2x_1)(x_0 - x_1) = 0 $$

$P_0$ は接点ではないため $x_0 \neq x_1$ であり、両辺を $x_0 - x_1$ で割って整理する。

$$ (x_0^2 + x_0 x_1 + x_1^2) - (x_0 + x_1) - (3x_1^2 - 2x_1) = 0 $$

$$ x_0^2 + x_0 x_1 - 2x_1^2 - x_0 + x_1 = 0 $$

$$ (x_0 - x_1)(x_0 + 2x_1) - (x_0 - x_1) = 0 $$

$$ (x_0 - x_1)(x_0 + 2x_1 - 1) = 0 $$

再び $x_0 \neq x_1$ を用いると、$x_0 + 2x_1 - 1 = 0$ を得る。よって、

$$ x_1 = -\frac{1}{2}x_0 + \frac{1}{2} $$

(2) (1) の結果から、同様に接点 $P_{n+1}$ における接線が点 $P_n$ を通る関係が成り立つため、任意の $n \geqq 0$ について次の漸化式が成り立つ。

$$ x_{n+1} = -\frac{1}{2}x_n + \frac{1}{2} $$

この漸化式は、特性方程式 $\alpha = -\frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}$ を解いて $\alpha = \frac{1}{3}$ となることから、次のように変形できる。

$$ x_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \left( x_n - \frac{1}{3} \right) $$

よって、数列 $\left\{ x_n - \frac{1}{3} \right\}$ は、初項が $x_0 - \frac{1}{3}$、公比が $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$$ x_n - \frac{1}{3} = \left( x_0 - \frac{1}{3} \right) \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

したがって、求める $x_n$ は、

$$ x_n = \frac{1}{3} + \left( x_0 - \frac{1}{3} \right) \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

(3) $n \to \infty$ のとき、公比の絶対値が $1$ より小さいため、$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{2} \right)^n = 0$ となる。したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{3} $$

このとき、$P_n$ は曲線 $y = x^3 - x^2$ 上にあるため、その $y$ 座標は、

$$ \lim_{n \to \infty} (x_n^3 - x_n^2) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} = -\frac{2}{27} $$

よって、点 $P_n$ は点 $\left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{27} \right)$ に近づく。

解法2

(1) の別解 $f(x) = x^3 - x^2$ とし、点 $P_1(x_1, f(x_1))$ における接線の方程式を $y = g(x)$ とおく。 $g(x)$ は $x$ の1次以下の式である。曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ は $x = x_1$ で接し、点 $P_0(x_0, f(x_0))$ で交わるため、方程式 $f(x) - g(x) = 0$ は $x = x_1$ を重解に持ち、$x = x_0$ を解に持つ。 $f(x) - g(x)$ は $x^3$ の係数が $1$ の3次式であるから、次のような恒等式が成り立つ。

$$ x^3 - x^2 - g(x) = (x - x_1)^2(x - x_0) $$

右辺を展開して整理すると、

$$ (x^2 - 2x_1 x + x_1^2)(x - x_0) = x^3 - (2x_1 + x_0)x^2 + (x_1^2 + 2x_0 x_1)x - x_0 x_1^2 $$

両辺の $x^2$ の係数を比較すると、

$$ -1 = -(2x_1 + x_0) $$

すなわち、$x_0 + 2x_1 = 1$ が成り立つ。よって、

$$ x_1 = -\frac{1}{2}x_0 + \frac{1}{2} $$

(2), (3) の手順は解法1と同様である。

解説

3次関数のグラフとその接線に関する代表的な問題である。 (1) では解法2のように、交点と接点の $x$ 座標についての関係を「解と係数の関係」あるいは「恒等式の係数比較」を用いて導くと、計算ミスを大きく減らすことができる。この手法は3次関数の接線問題における強力な定石なので、ぜひ習得しておきたい。また、(3) で極限として現れる点 $\left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{27} \right)$ は、関数 $y = x^3 - x^2$ の変曲点（第2次導関数 $y'' = 6x - 2$ が $0$ となる点）に該当する。変曲点において引いた接線は、曲線とそれ以外の交点を持たないため、初めに「$x_0 \neq \frac{1}{3}$」という条件が設けられている。