京都大学 2016年 理系 第4問 解説

方針・初手

• $y$ 軸のまわりの回転体の体積を求めるため、回転軸に垂直な平面 $y = t$ で立体を切断し、その断面積 $S(t)$ を積分するという定石に従います。
• 図形 $D$ は平面 $y = z$ 上にあるため、図形上の点は $(x,\ y,\ y)$ と表せることに注意して、平面 $y = t$ で切断したときの点と回転軸（$y$ 軸）との距離を考えます。
• 回転軸から最も遠い点と最も近い点の距離を求め、断面積を導出します。

解法1

図形 $D$ 上の点 $\text{P}(x,\ y,\ z)$ について、回転軸に垂直な平面 $y = t\ (0 \leq t \leq \log a)$ で切断したときの断面を考える。

図形 $D$ は平面 $y = z$ 上にあるため、点 P の座標は $\text{P}(x,\ t,\ t)$ と表せる。

また、条件より $x$ は $|x| \leq \dfrac{e^t + e^{-t}}{2} - 1$ を満たす。

（$t \geq 0$ において相加平均と相乗平均の関係より $\dfrac{e^t + e^{-t}}{2} \geq 1$ であるから、右辺は 0 以上である。）

平面 $y = t$ において、回転軸である $y$ 軸上の点は $\text{C}(0,\ t,\ 0)$ である。

点 P と回転軸（点 C）の距離の 2 乗 $CP^2$ は、

$$ CP^2 = (x - 0)^2 + (t - t)^2 + (t - 0)^2 = x^2 + t^2 $$

点 P が図形 $D$ 上を動くとき、$x$ の変域は $-\!\left(\dfrac{e^t + e^{-t}}{2} - 1\right) \leq x \leq \dfrac{e^t + e^{-t}}{2} - 1$ であるから、$x^2$ の取りうる値の範囲は

$$ 0 \leq x^2 \leq \left(\frac{e^t + e^{-t}}{2} - 1\right)^2 $$

したがって、$CP^2$ の最小値は $t^2$、最大値は $\left(\dfrac{e^t + e^{-t}}{2} - 1\right)^2 + t^2$ である。

この図形を $y$ 軸のまわりに回転させると、平面 $y = t$ における断面は、外半径が $\sqrt{\left(\dfrac{e^t + e^{-t}}{2} - 1\right)^2 + t^2}$、内半径が $t$ の円環（ドーナツ状）になる。

よって、断面積 $S(t)$ は

$$ S(t) = \pi\!\left\{\left(\frac{e^t + e^{-t}}{2} - 1\right)^2 + t^2\right\} - \pi t^2 = \pi\!\left(\frac{e^t + e^{-t}}{2} - 1\right)^2 $$

これを展開すると、

$$ S(t) = \pi\!\left\{\frac{1}{4}(e^{2t} + 2 + e^{-2t}) - (e^t + e^{-t}) + 1\right\} $$

$$ = \pi\!\left(\frac{1}{4}e^{2t} - e^t + \frac{3}{2} - e^{-t} + \frac{1}{4}e^{-2t}\right) $$

求める体積 $V$ は、この断面積 $S(t)$ を $t = 0$ から $t = \log a$ まで積分したものである。

$$ V = \int_{0}^{\log a} S(t)\,dt = \pi\int_{0}^{\log a}\!\left(\frac{1}{4}e^{2t} - e^t + \frac{3}{2} - e^{-t} + \frac{1}{4}e^{-2t}\right)dt $$

$$ = \pi\!\left[\frac{1}{8}e^{2t} - e^t + \frac{3}{2}t + e^{-t} - \frac{1}{8}e^{-2t}\right]_{0}^{\log a} $$

$t = \log a$ を代入すると、$e^{\log a} = a$、$e^{2\log a} = a^2$、$e^{-\log a} = \dfrac{1}{a}$、$e^{-2\log a} = \dfrac{1}{a^2}$ であるから、

$$ \frac{a^2}{8} - a + \frac{3}{2}\log a + \frac{1}{a} - \frac{1}{8a^2} $$

$t = 0$ を代入すると、$\dfrac{1}{8} - 1 + 0 + 1 - \dfrac{1}{8} = 0$ となる。

したがって、

$$ V = \pi\!\left(\frac{a^2}{8} - a + \frac{3}{2}\log a + \frac{1}{a} - \frac{1}{8a^2}\right) $$

解説

空間における回転体の体積計算の基本、「回転軸に垂直な平面で切断する」を忠実に実行する問題です。

本問では $y$ 軸が回転軸なので $y = t$ で切るわけですが、$y = z$ 平面上の点を $(x,\ t,\ t)$ と表現し、そこから $y$ 軸上の点 $(0,\ t,\ 0)$ までの距離を三平方の定理で正しく計算できるかが勝負です。

$z$ 座標の存在によって $y$ 軸から図形までの距離に「浮き」が生じるため、回転させた断面は内側に空洞のあるドーナツ状になります。しかし、断面積を計算する際（外側の円の面積から内側の円の面積を引く際）に、この浮きに相当する $t^2$ の項がうまく打ち消し合い、積分しやすい形になるように作問されています。

答え

$$ V = \pi\!\left(\frac{a^2}{8} - a + \frac{3}{2}\log a + \frac{1}{a} - \frac{1}{8a^2}\right) $$