トップ› 北海道大学› 2015年› 理系第3問

北海道大学 2015年理系第3問解説

方針・初手

(1) 点 $C$ は平面 $\alpha$ 上にあるため、実数 $p, q$ を用いて $\overrightarrow{OC} = p\vec{a} + q\vec{b}$ と表すことができる。これと $\overrightarrow{OC} \cdot \vec{a} = 0$、$|\overrightarrow{OC}|=1$ を用いて $p, q$ を定める。

(2) 与式の両辺と $\vec{a}$、および $\vec{c}$ の内積をとることで、ただちに $s, t$ の値が得られる。

(3) $PH \perp \alpha$ より、$\overrightarrow{PH} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\overrightarrow{PH} \cdot \vec{c} = 0$ が成り立つ。これらを用いて連立方程式を解く。

解法1

(1)

点 $C$ は $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ が定める平面 $\alpha$ 上にあるため、実数 $p, q$ を用いて

$$ \overrightarrow{OC} = p\vec{a} + q\vec{b} $$

と表せる。

$\overrightarrow{OC} \perp \vec{a}$ より $\overrightarrow{OC} \cdot \vec{a} = 0$ であるから、

$$ (p\vec{a} + q\vec{b}) \cdot \vec{a} = p|\vec{a}|^2 + q(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 $$

ここで、成分から内積と大きさを計算すると、

$$ |\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 $$

であるから、

$$ 3p + q = 0 \iff q = -3p $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OC} = p\vec{a} - 3p\vec{b} = p(1, 1, 1) - 3p(-1, 1, 1) = (4p, -2p, -2p) $$

となる。点 $C$ の $x$ 座標は正であるから、$4p > 0$ すなわち $p > 0$ である。

また、$|\overrightarrow{OC}| = 1$ より $|\overrightarrow{OC}|^2 = 1$ であるから、

$$ (4p)^2 + (-2p)^2 + (-2p)^2 = 1 $$

$$ 24p^2 = 1 \iff p^2 = \frac{1}{24} $$

$p > 0$ より $p = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$ である。

以上より、

$$ \overrightarrow{OC} = \left( 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{12}, -2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{12}, -2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{12} \right) = \left( \frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{6} \right) $$

よって、$C$ の座標は $\left( \frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{6} \right)$ である。

(2)

$$ \vec{b} = s\vec{a} + t\vec{c} $$

(1) より、$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は垂直であるから $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ である。

与式の両辺と $\vec{a}$ の内積をとると、

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 3s $$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ より、

$$ 1 = 3s \iff s = \frac{1}{3} $$

同様に、与式の両辺と $\vec{c}$ の内積をとると、

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = s(\vec{a} \cdot \vec{c}) + t|\vec{c}|^2 = t|\vec{c}|^2 $$

ここで、$|\vec{c}| = 1$ であり、また $\vec{b} \cdot \vec{c}$ は

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = (-1) \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} + 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) = -\frac{2\sqrt{6}}{3} $$

となるから、

$$ t = -\frac{2\sqrt{6}}{3} $$

以上より、$s = \frac{1}{3}, \ t = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$ である。

(3)

点 $H$ は平面 $\alpha$ 上の点であり、直線 $PH$ は平面 $\alpha$ と垂直であるから、$\overrightarrow{PH}$ は平面 $\alpha$ 上の2つの1次独立なベクトル $\vec{a}, \vec{c}$ とそれぞれ直交する。

したがって、

$$ \overrightarrow{PH} \cdot \vec{a} = 0 \quad \text{かつ} \quad \overrightarrow{PH} \cdot \vec{c} = 0 $$

$\overrightarrow{OH} = k\vec{a} + l\vec{c}$ と表されているので、

$$ \overrightarrow{PH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OP} = k\vec{a} + l\vec{c} - \overrightarrow{OP} $$

これより、

$$ \overrightarrow{PH} \cdot \vec{a} = (k\vec{a} + l\vec{c} - \overrightarrow{OP}) \cdot \vec{a} = k|\vec{a}|^2 + l(\vec{c} \cdot \vec{a}) - \overrightarrow{OP} \cdot \vec{a} = 0 $$

$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$, $|\vec{a}|^2 = 3$ であるから、

$$ 3k - (x + y + z) = 0 \iff k = \frac{x + y + z}{3} $$

同様に、

$$ \overrightarrow{PH} \cdot \vec{c} = (k\vec{a} + l\vec{c} - \overrightarrow{OP}) \cdot \vec{c} = k(\vec{a} \cdot \vec{c}) + l|\vec{c}|^2 - \overrightarrow{OP} \cdot \vec{c} = 0 $$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $|\vec{c}|^2 = 1$ であり、

$$ \overrightarrow{OP} \cdot \vec{c} = x \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} + y \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + z \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) = \frac{\sqrt{6}(2x - y - z)}{6} $$

であるから、

$$ l - \frac{\sqrt{6}(2x - y - z)}{6} = 0 \iff l = \frac{\sqrt{6}(2x - y - z)}{6} $$

以上より、$k = \frac{x+y+z}{3}, \ l = \frac{\sqrt{6}(2x-y-z)}{6}$ である。

解法2

(1)の別解

平面 $\alpha$ は原点 $O$、点 $A(1,1,1)$、点 $B(-1,1,1)$ を通る。

$\vec{a} = (1, 1, 1)$ と $\vec{b} = (-1, 1, 1)$ に垂直な法線ベクトルの一つを $\vec{n} = (X, Y, Z)$ とすると、

$$ \begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{a} = X + Y + Z = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{b} = -X + Y + Z = 0 \end{cases} $$

これを解くと $X=0, Y=-Z$ となる。$Z=1$ として $\vec{n} = (0, -1, 1)$ が法線ベクトルとなる。

原点を通るため、平面 $\alpha$ の方程式は $-y + z = 0$ すなわち $y = z$ である。

点 $C(x_c, y_c, z_c)$ とすると、平面 $\alpha$ 上にあるため

$$ y_c = z_c $$

$\overrightarrow{OC} \perp \vec{a}$ より $\overrightarrow{OC} \cdot \vec{a} = 0$ であるから、

$$ x_c + y_c + z_c = 0 \iff x_c + 2y_c = 0 \iff x_c = -2y_c $$

$x_c > 0$ の条件より、$-2y_c > 0 \iff y_c < 0$ である。

$|\overrightarrow{OC}|^2 = 1$ であるから、

$$ x_c^2 + y_c^2 + z_c^2 = 1 $$

$$ (-2y_c)^2 + y_c^2 + y_c^2 = 1 \iff 6y_c^2 = 1 $$

$y_c < 0$ より $y_c = -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{6}$ となる。

これより、$z_c = -\frac{\sqrt{6}}{6}$, $x_c = -2 \left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ と定まる。

よって、$C \left( \frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{6} \right)$ である。

解説

空間ベクトルにおいて、直交する2つのベクトル $\vec{a}, \vec{c}$ が張る平面 $\alpha$ 上へ垂線を下ろす正射影の考え方をテーマとした問題である。

(1) は平面上のベクトルを2つの基底で表す標準的な問題であり、(2) では互いに直交する基底を用いて任意のベクトルを表す際の係数が、内積計算のみで即座に求まることを確認させている。

(3) はこの流れを受け、平面 $\alpha$ に対する垂線の足を求める問題だが、(2) と同様に直交条件 $\overrightarrow{PH} \cdot \vec{a} = 0$, $\overrightarrow{PH} \cdot \vec{c} = 0$ を用いることで簡単に係数 $k, l$ を求めることができる。正射影ベクトルの公式の導出そのものであり、誘導に乗ることで計算量を大幅に減らすことができる。