京都大学 2019年 理系 第2問 解説

方針・初手

$n$ と $n+1$ は連続する整数であるため、一方は偶数、もう一方は奇数となります。

引数が偶数である場合、$f(x)$ の式の各項に偶数を代入すると全体が偶数になることに着目します。

「素数である偶数は $2$ のみ」という性質を利用して、引数が偶数となる場合の $f(x)$ の値を決定し、候補となる $n$ を絞り込みます。

解法1

$f(x) = x^3 + 2x^2 + 2$ とする。

$n$ と $n+1$ は連続する整数であるから、いずれか一方は必ず偶数である。

そこで、整数 $m$ が偶数であるときの $f(m)$ の値を考える。

$m = 2k$（$k$ は整数）とおくと、

$$ f(2k) = (2k)^3 + 2(2k)^2 + 2 = 8k^3 + 8k^2 + 2 = 2(4k^3 + 4k^2 + 1) $$

ここで、$4k^3 + 4k^2 + 1$ は整数であるから、$f(m)$ は偶数である。

条件より、偶数 $m$ に対しても $|f(m)|$ は素数でなければならない。偶数の素数は $2$ のみであるから、

$$ |f(m)| = 2 $$

すなわち、$f(m) = 2$ または $f(m) = -2$ でなければならない。

(i) $f(m) = 2$ のとき

$$ m^3 + 2m^2 + 2 = 2 \implies m^3 + 2m^2 = 0 \implies m^2(m + 2) = 0 $$

よって、$m = 0,\ -2$

これらはともに偶数である。

(ii) $f(m) = -2$ のとき

$$ m^3 + 2m^2 + 4 = 0 $$

この方程式が整数解をもつと仮定する。有理根定理より、解の候補は定数項 $4$ の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ に限られる。しかし、

$$ 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 4 = 7 \neq 0 $$

$$ (-1)^3 + 2(-1)^2 + 4 = 5 \neq 0 $$

$$ 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 4 = 20 \neq 0 $$

$$ (-2)^3 + 2(-2)^2 + 4 = 4 \neq 0 $$

$$ 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 4 = 100 \neq 0 $$

$$ (-4)^3 + 2(-4)^2 + 4 = -28 \neq 0 $$

となり、いずれも成り立たない。したがって、この方程式を満たす整数 $m$ は存在しない。

以上より、条件を満たす偶数 $m$ の候補は $m = 0,\ -2$ のみである。

ここで、$m$ は $n$ または $n+1$ のいずれかである。

(ア) $n$ が偶数のとき（$m = n$ のとき）

$n = 0,\ -2$ が候補となる。

• $n = 0$ のとき

$$ |f(0)| = |0 + 0 + 2| = 2 \text{（素数）}, \quad |f(1)| = |1 + 2 + 2| = 5 \text{（素数）} $$

ともに素数となるので条件を満たす。

• $n = -2$ のとき

$$ |f(-2)| = |-8 + 8 + 2| = 2 \text{（素数）}, \quad |f(-1)| = |-1 + 2 + 2| = 3 \text{（素数）} $$

ともに素数となるので条件を満たす。

(イ) $n$ が奇数のとき（$m = n+1$ のとき）

$n+1 = 0$ より $n = -1$、および $n+1 = -2$ より $n = -3$ が候補となる。

• $n = -1$ のとき

$$ |f(-1)| = |-1 + 2 + 2| = 3 \text{（素数）}, \quad |f(0)| = 2 \text{（素数）} $$

ともに素数となるので条件を満たす。

• $n = -3$ のとき

$$ |f(-3)| = |-27 + 18 + 2| = 7 \text{（素数）}, \quad |f(-2)| = 2 \text{（素数）} $$

ともに素数となるので条件を満たす。

(ア), (イ) より、条件を満たす整数 $n$ は $n = -3,\ -2,\ -1,\ 0$ である。

解説

偶奇の性質と「偶数の素数は2だけ」という事実を組み合わせた整数問題の典型です。

$n$ と $n+1$ が連続する整数であることから「どちらかは必ず偶数になる」と見抜くことができれば、方程式を解く問題に帰着できます。

また、絶対値の扱いとして $f(x) = \pm 2$ の両方を検討する必要がありますが、$f(x) = -2$ の場合には整数解がないことをきちんと示すことも、論理の飛躍を防ぐ重要なポイントです。

答え

$$ n = -3,\ -2,\ -1,\ 0 $$