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京都大学 2020年理系第6問解説

方針・初手

2回の回転操作が行われるため、順を追って図形の方程式を決定します。まずは $xz$ 平面上の曲線を $z$ 軸のまわりに回転させてできる曲面 $S$ の方程式を、$x^2+y^2$ を用いて表します。次に、この曲面 $S$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体 $V$ の体積を求めるため、$x$ 軸に垂直な平面 $x = t$ で $S$ を切断します。断面上に現れる曲線上の点から $x$ 軸までの距離の最大値と最小値を調べ、回転体の断面積を積分して体積を求めます。

解法1

$xz$ 平面内の曲線 $z = \sqrt{\log(1+x)} \quad (0 \leqq x \leqq 1)$ を $z$ 軸のまわりに1回転させてできる図形（曲面） $S$ の方程式を求める。 $S$ 上の任意の点 $(x, y, z)$ の $z$ 軸からの距離を $r$ とすると、$r = \sqrt{x^2+y^2}$ である。回転前の曲線は $x \geqq 0$ の領域にあるため、$z = \sqrt{\log(1+r)}$ となる。定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ は $0 \leqq r \leqq 1$ に対応するから、曲面 $S$ の方程式は

$$ z = \sqrt{\log(1+\sqrt{x^2+y^2})} \quad (x^2+y^2 \leqq 1) $$

となる。これより、立体の $x$ 座標のとりうる範囲は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。

次に、$S$ を $x$ 軸のまわりに回転させた立体 $V$ を $x$ 軸に垂直な平面 $x = t \ (-1 \leqq t \leqq 1)$ で切断したときの断面について考える。平面 $x = t$ における $S$ の切り口の曲線 $C_t$ は、

$$ z = \sqrt{\log(1+\sqrt{t^2+y^2})} \quad (y^2 \leqq 1-t^2) $$

で表される。立体 $V$ を平面 $x=t$ で切断したときの断面は、曲線 $C_t$ を原点（$x$ 軸上の点 $(t, 0, 0)$）のまわりに回転させた図形である。曲線 $C_t$ 上の点 $(t, y, z)$ から $x$ 軸までの距離の2乗を $R^2$ とすると、

$$ R^2 = y^2 + z^2 = y^2 + \log(1+\sqrt{t^2+y^2}) $$

となる。ここで、$u = y^2$ とおくと、条件より $0 \leqq u \leqq 1-t^2$ であり、

$$ R^2 = u + \log(1+\sqrt{t^2+u}) $$

である。関数 $f(u) = u + \log(1+\sqrt{t^2+u})$ は $u \geqq 0$ において単調に増加する関数であるから、$R^2$ の最大値 $R_{\max}^2$ と最小値 $R_{\min}^2$ は以下のようになる。最大値は $u = 1-t^2$ のとき

$$ R_{\max}^2 = 1 - t^2 + \log(1+\sqrt{t^2+(1-t^2)}) = 1 - t^2 + \log 2 $$

最小値は $u = 0$ のとき

$$ R_{\min}^2 = 0 + \log(1+\sqrt{t^2}) = \log(1+|t|) $$

曲線 $C_t$ は連続であるから、$R^2$ は $R_{\min}^2$ から $R_{\max}^2$ までのすべての値をとりうる。したがって、平面 $x=t$ における $V$ の断面積 $A(t)$ は、半径 $R_{\max}$ の円から半径 $R_{\min}$ の円を除いた円環の面積となる。

$$ A(t) = \pi (R_{\max}^2 - R_{\min}^2) = \pi \{ 1 - t^2 + \log 2 - \log(1+|t|) \} $$

求める体積 $V$ は、$A(t)$ が $t$ の偶関数であることを利用して、

$$ V = \int_{-1}^{1} A(t) dt = 2 \int_{0}^{1} \pi \{ 1 - t^2 + \log 2 - \log(1+t) \} dt $$

となる。積分をそれぞれ計算する。

$$ \int_{0}^{1} (1 - t^2 + \log 2) dt = \left[ t - \frac{t^3}{3} + t\log 2 \right]_0^1 = \frac{2}{3} + \log 2 $$

部分積分法を用いて

$$ \int_{0}^{1} \log(1+t) dt = \int_{0}^{1} (t+1)' \log(1+t) dt $$

$$ = \Big[ (t+1)\log(1+t) \Big]_0^1 - \int_{0}^{1} (t+1) \cdot \frac{1}{1+t} dt $$

$$ = 2\log 2 - \int_{0}^{1} 1 dt = 2\log 2 - 1 $$

以上より、

$$ V = 2\pi \left\{ \left(\frac{2}{3} + \log 2\right) - (2\log 2 - 1) \right\} = 2\pi \left( \frac{5}{3} - \log 2 \right) $$

解説

「2回回転させる」という設定に一瞬戸惑うかもしれませんが、「回転面の方程式の作り方」と「回転体の体積は回転軸に垂直な平面で切る」という基本原則を組み合わせるだけで解ける問題です。ある曲線 $y=f(x)$ を $y$ 軸のまわりに回転させてできる曲面の方程式は、$x$ を $\sqrt{x^2+z^2}$ に置き換えることで得られます。この知識を持っていれば、図形 $S$ の方程式 $z = \sqrt{\log(1+\sqrt{x^2+y^2})}$ はすぐに導出できます。その後、$x$ 軸まわりの回転体の断面積を求める際は、切り口の点から回転軸までの距離の2乗 $y^2+z^2$ が単調増加であることに気づけるかがポイントです。単調性により、両端点（$y=0$ と $y=\sqrt{1-t^2}$）で距離が最小・最大となるため、ドーナツ型（円環）の面積として立式できます。最後の積分計算には $\log$ の部分積分が含まれますが、$\int \log(x+a) dx = (x+a)\log(x+a) - x + C$ という定石通りに処理すれば問題ありません。