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京都大学 1998年理系第6問解説

方針・初手

回転体の体積の公式 $V = \pi \int_{x_1}^{x_2} y^2 dx$ に当てはめて立式します。積分区間内で曲線の $y$ 座標の正負が入れ替わりますが、2乗されるため絶対値による場合分けは不要です。被積分関数が対数関数の2乗になるため、置換積分で式を簡略化したのち、部分積分を用いて計算を進めます。 (2) では $V(a)$ の最小値を求めるために $a$ で微分して増減を調べます。その際、(1) で求めた結果の式をそのまま微分するよりも、定積分で表された関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)$ を用いると、計算の負担を大幅に減らすことができます。

解法1

(1)

曲線 $y = \log(x - a)$ と $x$ 軸、および2直線 $x = 1, x = 3$ で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積 $V(a)$ は、次のように表される。

$$ V(a) = \pi \int_{1}^{3} \{ \log(x - a) \}^2 dx $$

ここで $t = x - a$ とおくと、$dt = dx$ である。 $x$ の積分区間 $1 \to 3$ は、$t$ の積分区間 $1 - a \to 3 - a$ に対応する。

$$ V(a) = \pi \int_{1 - a}^{3 - a} (\log t)^2 dt $$

不定積分 $\int (\log t)^2 dt$ を、部分積分を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int (\log t)^2 dt &= \int 1 \cdot (\log t)^2 dt \\ &= t (\log t)^2 - \int t \cdot 2(\log t) \cdot \frac{1}{t} dt \\ &= t (\log t)^2 - 2 \int \log t dt \\ &= t (\log t)^2 - 2(t \log t - t) + C \quad (C \text{ は積分定数}) \\ &= t \{ (\log t)^2 - 2 \log t + 2 \} + C \end{aligned} $$

したがって、$V(a)$ は次のように求められる。

$$ \begin{aligned} V(a) &= \pi \left[ t \{ (\log t)^2 - 2 \log t + 2 \} \right]_{1 - a}^{3 - a} \\ &= \pi \left[ (3 - a) \{ (\log(3 - a))^2 - 2 \log(3 - a) + 2 \} - (1 - a) \{ (\log(1 - a))^2 - 2 \log(1 - a) + 2 \} \right] \end{aligned} $$

(2)

$V(a)$ の最小値を求めるために、$a$ について微分する。定積分の形のまま両辺を $a$ で微分すると計算が簡明になる。

$$ V(a) = \pi \int_{1 - a}^{3 - a} (\log t)^2 dt $$

$$ \begin{aligned} V'(a) &= \pi \left\{ (\log(3 - a))^2 \cdot (3 - a)' - (\log(1 - a))^2 \cdot (1 - a)' \right\} \\ &= \pi \left\{ -(\log(3 - a))^2 + (\log(1 - a))^2 \right\} \\ &= \pi \{ \log(1 - a) + \log(3 - a) \} \{ \log(1 - a) - \log(3 - a) \} \end{aligned} $$

$0 < a < 1$ であるから、$0 < 1 - a < 1$、$2 < 3 - a < 3$ である。したがって、常に $\log(1 - a) < 0$、$\log(3 - a) > 0$ となり、$\log(1 - a) - \log(3 - a) < 0$ が成り立つ。よって、$V'(a) = 0$ となる条件は、

$$ \log(1 - a) + \log(3 - a) = 0 $$

$$ \log \{ (1 - a)(3 - a) \} = 0 $$

$$ (1 - a)(3 - a) = 1 $$

$$ a^2 - 4a + 2 = 0 $$

これを解くと $a = 2 \pm \sqrt{2}$ となるが、$0 < a < 1$ を満たすのは $a = 2 - \sqrt{2}$ である。

次に増減表を考える。$g(a) = (1 - a)(3 - a) = a^2 - 4a + 3$ とすると、区間 $0 < a < 1$ において軸が $a = 2$ の放物線の一部であるため、$g(a)$ は単調に減少する。 $a = 2 - \sqrt{2}$ のとき $g(a) = 1$ より $\log \{ g(a) \} = 0$ であるから、 $0 < a < 2 - \sqrt{2}$ のとき $g(a) > 1$ より $\log(1 - a) + \log(3 - a) > 0$。このとき $V'(a) < 0$ となる。 $2 - \sqrt{2} < a < 1$ のとき $0 < g(a) < 1$ より $\log(1 - a) + \log(3 - a) < 0$。このとき $V'(a) > 0$ となる。したがって、$V(a)$ は $a = 2 - \sqrt{2}$ で極小かつ最小となる。

$a = 2 - \sqrt{2}$ のとき、 $1 - a = \sqrt{2} - 1$ $3 - a = \sqrt{2} + 1$ ここで $\log(\sqrt{2} + 1) = L$ とおくと、$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 1$ より $\log(\sqrt{2} - 1) = -\log(\sqrt{2} + 1) = -L$ である。最小値 $V(2 - \sqrt{2})$ にこれらを代入して計算する。

$$ \begin{aligned} V(2 - \sqrt{2}) &= \pi \left[ (\sqrt{2} + 1) ( L^2 - 2L + 2 ) - (\sqrt{2} - 1) ( (-L)^2 - 2(-L) + 2 ) \right] \\ &= \pi \left[ (\sqrt{2} + 1) ( L^2 - 2L + 2 ) - (\sqrt{2} - 1) ( L^2 + 2L + 2 ) \right] \\ &= \pi \left\{ ( \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 ) L^2 + ( -2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} + 2 ) L + ( 2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{2} + 2 ) \right\} \\ &= \pi ( 2L^2 - 4\sqrt{2}L + 4 ) \\ &= 2\pi ( L^2 - 2\sqrt{2}L + 2 ) \end{aligned} $$

$L = \log(\sqrt{2} + 1)$ を戻して、最小値は以下のようになる。

$$ V(2 - \sqrt{2}) = 2\pi \left\{ (\log(\sqrt{2} + 1))^2 - 2\sqrt{2}\log(\sqrt{2} + 1) + 2 \right\} $$

解説

微積分における計算の工夫が問われる良問です。 (1) の積分は、被積分関数が $y^2$ であるため、グラフが $x$ 軸の上下どちらにあっても同じ立式で計算できることがポイントです。 (2) の微分において、(1) で求めた長く複雑な式を直接微分しようとすると計算ミスを誘発しやすくなります。定積分で表された関数の形 $V(a) = \pi \int_{1-a}^{3-a} (\log t)^2 dt$ のまま微分公式を用いることで、安全かつスピーディに導関数を求めることができます。最後の値の計算では、$\log(\sqrt{2}-1) = -\log(\sqrt{2}+1)$ という対数の性質と対称性を利用して文字の置き換えを行うと、式全体がすっきりと整理されます。