トップ› 京都大学› 2022年› 理系第4問

京都大学 2022年理系第4問解説

方針・初手

四面体のすべての辺の長さが与えられているため、頂点 $O$ を始点とするベクトル $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ の大きさおよびそれぞれの内積の値をすべて求めることができます。点 $P$ は辺 $BC$ 上の点であるため、実数 $t \ (0 \leqq t \leqq 1)$ を用いて $\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$ と表すことができます。これを用いてベクトルの計算を進めるのが基本方針です。 (1) では $\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ を示し、(2) では $PG$ の長さを $t$ の関数として表して最小値を求めます。

解法1

(1)

準備として、基本となるベクトルの内積を求める。

与えられた条件より、 $|\overrightarrow{OA}| = 4$ $|\overrightarrow{OB}| = 3, \quad |\overrightarrow{AB}| = 3$ $|\overrightarrow{OC}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{3}$ $|\overrightarrow{BC}| = 3$

$\triangle OAB$ について、余弦定理（またはベクトルの大きさの展開）を用いると、 $|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2$ $3^2 = 3^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 4^2$ $9 = 9 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 16$ よって、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 8$

同様に $\triangle OAC$ について、 $|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + |\overrightarrow{OA}|^2$ $(2\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + 4^2$ $12 = 12 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + 16$ よって、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 8$

点 $P$ は辺 $BC$ 上の点であるから、実数 $t \ (0 \leqq t \leqq 1)$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} $$

と表せる。ここで、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OA}$ の内積を計算すると、 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = \{(1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}\} \cdot \overrightarrow{OA}$ $= (1-t)(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) + t(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC})$ $= (1-t) \cdot 8 + t \cdot 8 = 8$

$G$ は $\triangle OAP$ の重心であるから、 $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}}{3} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP})$ したがって、 $\overrightarrow{PG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}) - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OP})$

$\overrightarrow{PG}$ と $\overrightarrow{OA}$ の内積を求めると、 $\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OP}) \cdot \overrightarrow{OA}$ $= \frac{1}{3}(|\overrightarrow{OA}|^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA})$ $= \frac{1}{3}(4^2 - 2 \cdot 8)$ $= \frac{1}{3}(16 - 16) = 0$

$G$ は $\triangle OAP$ の重心であるため点 $P$ は直線 $OA$ 上にはなく、$\overrightarrow{PG} \neq \vec{0}$ である。また $|\overrightarrow{OA}| = 4 \neq 0$ であるから $\overrightarrow{OA} \neq \vec{0}$。よって、$\overrightarrow{PG} \perp \overrightarrow{OA}$ が示された。

(2)

(1) より $\overrightarrow{PG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OP})$ であるから、 $|\overrightarrow{PG}|^2 = \frac{1}{9}|\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OP}|^2$ $= \frac{1}{9}(|\overrightarrow{OA}|^2 - 4\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} + 4|\overrightarrow{OP}|^2)$ $= \frac{1}{9}(16 - 4 \cdot 8 + 4|\overrightarrow{OP}|^2)$ $= \frac{4}{9}|\overrightarrow{OP}|^2 - \frac{16}{9} \cdots \text{①}$

ここで、$|\overrightarrow{OP}|^2$ について考える。まず、$\triangle OBC$ において内積 $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}$ を求める。 $|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2 - 2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + |\overrightarrow{OB}|^2$ $3^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + 3^2$ $9 = 12 - 2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + 9$ よって、$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 6$

これを用いて $|\overrightarrow{OP}|^2$ を $t$ の式で表す。 $|\overrightarrow{OP}|^2 = |(1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}|^2$ $= (1-t)^2|\overrightarrow{OB}|^2 + 2t(1-t)\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + t^2|\overrightarrow{OC}|^2$ $= 9(1-t)^2 + 12t(1-t) + 12t^2$ $= 9(1 - 2t + t^2) + 12(t - t^2) + 12t^2$ $= 9 - 18t + 9t^2 + 12t - 12t^2 + 12t^2$ $= 9t^2 - 6t + 9$ $= 9\left(t^2 - \frac{2}{3}t\right) + 9$ $= 9\left(t - \frac{1}{3}\right)^2 - 1 + 9$ $= 9\left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + 8$

点 $P$ は辺 $BC$ 上にあるため $0 \leqq t \leqq 1$ であり、この範囲に $t = \frac{1}{3}$ は含まれる。したがって、$|\overrightarrow{OP}|^2$ は $t = \frac{1}{3}$ のとき、最小値 $8$ をとる。

①より、$|\overrightarrow{OP}|^2$ が最小のとき $|\overrightarrow{PG}|^2$ も最小となるから、 $|\overrightarrow{PG}|^2$ の最小値は $\frac{4}{9} \cdot 8 - \frac{16}{9} = \frac{32 - 16}{9} = \frac{16}{9}$

$PG \geqq 0$ であるから、$PG$ の最小値は $\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$ となる。

解説

空間ベクトルの標準的な計算問題です。四面体の6辺の長さがすべてわかっている状況では、「始点を1つに固定し、3つの基底ベクトルの大きさとそれぞれの内積の値をすべて求めておく」という解法が非常に有効です。本問では頂点 $O$ を始点としてすべての式を表現することで、機械的な計算のみで最後までたどり着くことができます。 (2) は $PG$ の最小化ですが、(1) で得られた式を展開すると $PG$ の長さは $OP$ の長さにのみ依存することがわかります。これは幾何学的に言えば、「直線 $OA$ と点 $P$ の距離を最小化する」という問題に帰着していることになります。