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京都大学 2022年理系第5問解説

方針・初手

(1) は基本的な定積分です。$\cos^3 x$ を $\cos x(1-\sin^2 x)$ と変形して置換積分しやすい形を作ります（ウォリスの公式を用いても構いません）。
(2) は $f(t) = t \cos^3 t$ を微分し、導関数の符号変化を調べます。方程式 $f'(t)=0$ が直接解けないため、符号を決める部分だけを別の関数 $g(t)$ として取り出し、その単調性と中間値の定理からただ1つの解 $\alpha$ を持つことを示します。その後、$g(\alpha) = 0$ の関係式を利用して $f(\alpha)$ を変形します。
(3) は $\alpha$ の具体的な値が求まらないため、$\alpha$ を含む適当な値で評価します。目標となる値 $\frac{9}{16}$ を逆算すると、$f(\alpha) < \frac{3}{8}$ を示せばよいことがわかります。(2)で現れた関数に具体的な値（例えば $t = \frac{\pi}{6}$）を代入し、$\alpha$ の範囲を絞り込みます。

解法1

(1)

曲線 $C: y = \cos^3 x$ と $x, y$ 軸で囲まれた面積 $S$ は、

$$ S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \,dx $$

と表される。

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin^2 x \cos x) \,dx $$

$$ = \left[ \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

$$ = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0) = \frac{2}{3} $$

よって、$S = \frac{2}{3}$

(2)

長方形 $OPQR$ の面積 $f(t)$ は、$f(t) = t \cos^3 t$ である。 $0 < t < \frac{\pi}{2}$ において微分すると、

$$ f'(t) = 1 \cdot \cos^3 t + t \cdot 3 \cos^2 t (-\sin t) = \cos^2 t (\cos t - 3t \sin t) $$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\cos^2 t > 0$ であるから、$f'(t)$ の符号は $g(t) = \cos t - 3t \sin t$ の符号と一致する。 $g(t)$ を微分すると、

$$ g'(t) = -\sin t - (3 \sin t + 3t \cos t) = -4 \sin t - 3t \cos t $$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\sin t > 0, \cos t > 0$ であるため、$g'(t) < 0$ となり、$g(t)$ は単調に減少する。ここで、

$$ \lim_{t \to +0} g(t) = 1 > 0 $$

$$ g\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 3 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{3\pi}{2} < 0 $$

であるから、中間値の定理により $g(t) = 0$ となる $t$ が区間 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ にただ1つ存在する。これを $\alpha$ とおく。このとき $f'(t)$ の符号は $t = \alpha$ の前後で正から負へと変化するため、$f(t)$ は $t = \alpha$ でただ1つの極大値かつ最大値をとる。また、$g(\alpha) = 0$ より $\cos \alpha - 3\alpha \sin \alpha = 0$、すなわち $\alpha = \frac{\cos \alpha}{3 \sin \alpha}$ が成り立つ。したがって、最大値 $f(\alpha)$ は

$$ f(\alpha) = \alpha \cos^3 \alpha = \left( \frac{\cos \alpha}{3 \sin \alpha} \right) \cos^3 \alpha = \frac{\cos^4 \alpha}{3 \sin \alpha} $$

となることが示された。

(3)

$S = \frac{2}{3}$ であるから、示すべき不等式は

$$ \frac{f(\alpha)}{\frac{2}{3}} < \frac{9}{16} \iff f(\alpha) < \frac{3}{8} $$

である。

(2) で定めた $g(t)$ について、$t = \frac{\pi}{6}$ のときの値を調べる。

$$ g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\sqrt{3} - \pi}{4} $$

ここで、$(2\sqrt{3})^2 = 12$、$\pi^2 < 3.15^2 = 9.9225 < 12$ であるから、$2\sqrt{3} > \pi$ となり、$g\left(\frac{\pi}{6}\right) > 0$ である。 $g(t)$ は単調減少であり、$g\left(\frac{\pi}{6}\right) > 0 = g(\alpha)$ であるから、$\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。

次に、関数 $h(x) = \frac{\cos^4 x}{3 \sin x}$ を考える。$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において微分すると、

$$ h'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{-4\cos^3 x \sin x \cdot \sin x - \cos^4 x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos^3 x (4 \sin^2 x + \cos^2 x)}{3 \sin^2 x} $$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $h'(x) < 0$ であるから、$h(x)$ は単調に減少する。したがって、$\alpha > \frac{\pi}{6}$ より $h(\alpha) < h\left(\frac{\pi}{6}\right)$ が成り立つ。

$$ h\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\cos^4 \frac{\pi}{6}}{3 \sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4}{3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{8} $$

であるから、$f(\alpha) = h(\alpha) < \frac{3}{8}$ が示された。よって、

$$ \frac{f(\alpha)}{S} = \frac{f(\alpha)}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} f(\alpha) < \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{16} $$

となり、示された。

解説

微分積分と方程式の実数解、および不等式の評価を組み合わせた総合的な問題です。 (2) は直接解を求められない方程式の実数解を $\alpha$ とおいて論証を進める典型的な手法です。導関数の符号を決定する部分だけを抜き出して別の関数とし、その単調性を調べるという手順は記述式試験で頻出です。 (3) は目標の不等式から逆算して「$f(\alpha) < \frac{3}{8}$ を示せばよい」と見抜くことが重要です。そこから「$f(x)$ に代入して $\frac{3}{8}$ になるような都合の良い角はないか？」と考え、$x = \frac{\pi}{6}$ にたどり着くのがポイントです。$\pi < 3.15$ などを利用した近似値による符号判定もよく問われます。