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京都大学 2022年理系第6問解説

方針・初手

与えられた漸化式は複雑で、直接解くのは困難です。しかし、求めるものが $\{x_n - y_n\}$ という1つの数列の一般項であることに着目します。このような問題では、まず $n=1, 2, 3, 4, \cdots$ と順に具体的な値を計算し、数列の規則性を推測することが有効です。推測した一般項が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する方針で進めます。

解法1

求める数列を $z_n = x_n - y_n$ とおく。与えられた条件から、各数列の項を順に計算する。

$x_1 = 0$ $y_1 = y_{3 \cdot 0 + 1} = 0$ $z_1 = 0 - 0 = 0$

$x_2 = x_1 + 1 + 2\cos 0 = 0 + 1 + 2 = 3$ $y_2 = y_{3 \cdot 0 + 2} = 2$ $z_2 = 3 - 2 = 1$

$x_3 = x_2 + 2 + 2\cos\left(\frac{6\pi}{3}\right) = 3 + 2 + 2\cos 2\pi = 7$ $y_3 = y_{3 \cdot 0 + 3} = 4$ $z_3 = 7 - 4 = 3$

$x_4 = x_3 + 3 + 2\cos\left(\frac{14\pi}{3}\right) = 7 + 3 + 2\cos\left(4\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = 10 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 9$ $y_4 = y_{3 \cdot 1 + 1} = 3 \cdot 1 = 3$ $z_4 = 9 - 3 = 6$

これより、$z_n = \frac{n(n-1)}{2}$ であると推測される。これを数学的帰納法で証明する。命題 $P(n) : z_n = \frac{n(n-1)}{2}$ とする。

(I) $n=1$ のとき

$z_1 = 0$ であり、$\frac{1(1-1)}{2} = 0$ であるから $P(1)$ は成り立つ。

(II) $n=k$ のとき $P(k)$ が成り立つと仮定する。すなわち、$x_k - y_k = \frac{k(k-1)}{2}$ が成り立つとする。

$n=k+1$ のとき、 $z_{k+1} = x_{k+1} - y_{k+1}$ $= \left\{ x_k + k + 2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) \right\} - y_{k+1}$ $= y_k + \frac{k(k-1)}{2} + k + 2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) - y_{k+1}$ $= \frac{k(k+1)}{2} + 2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) - (y_{k+1} - y_k)$

ここで、$y_{k+1} - y_k = 2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) \cdots (*)$ が成り立つことを、$k$ を $3$ で割った余りで場合分けして示す。（$m$ は非負整数とする）

(i) $k = 3m+1$ のとき

$y_k = y_{3m+1} = 3m$ $y_{k+1} = y_{3m+2} = 3m+2$ より $y_{k+1} - y_k = 2$ 帰納法の仮定より、 $x_k = y_k + \frac{k(k-1)}{2} = 3m + \frac{(3m+1) \cdot 3m}{2} = 3\left\{ m + \frac{m(3m+1)}{2} \right\}$ $m$ と $3m+1$ は偶奇が異なるため、その積 $m(3m+1)$ は必ず偶数となり、$\frac{m(3m+1)}{2}$ は整数である。よって $x_k$ は $3$ の倍数であり、$2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) = 2\cos(2\pi \times \text{整数}) = 2$ ゆえに $(*)$ は成り立つ。

(ii) $k = 3m+2$ のとき

$y_k = y_{3m+2} = 3m+2$ $y_{k+1} = y_{3m+3} = 3m+4$ より $y_{k+1} - y_k = 2$ 帰納法の仮定より、 $x_k = y_k + \frac{k(k-1)}{2} = 3m+2 + \frac{(3m+2)(3m+1)}{2}$ ここで、$\frac{(3m+2)(3m+1)}{2} = \frac{9m^2+9m+2}{2} = 9 \cdot \frac{m(m+1)}{2} + 1$ 連続する整数の積 $m(m+1)$ は偶数であるから $\frac{m(m+1)}{2}$ は整数であり、$\frac{(3m+2)(3m+1)}{2} \equiv 1 \pmod 3$ となる。また、$3m+2 \equiv 2 \pmod 3$ であるから、 $x_k \equiv 2 + 1 \equiv 0 \pmod 3$ となり、$x_k$ は $3$ の倍数である。よって $2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) = 2\cos(2\pi \times \text{整数}) = 2$ ゆえに $(*)$ は成り立つ。

(iii) $k = 3m+3$ のとき

$y_k = y_{3m+3} = 3m+4$ $y_{k+1} = y_{3(m+1)+1} = 3(m+1) = 3m+3$ より $y_{k+1} - y_k = -1$ 帰納法の仮定より、 $x_k = y_k + \frac{k(k-1)}{2} = 3m+4 + \frac{(3m+3)(3m+2)}{2} = 3m+4 + 3 \cdot \frac{(m+1)(3m+2)}{2}$ $(m+1)(3m+2)$ は偶数であるため、$\frac{(m+1)(3m+2)}{2}$ は整数である。したがって $x_k \equiv 3m+4 \equiv 1 \pmod 3$ となる。よって $2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) = 2\cos\left(2\pi \times \text{整数} + \frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ ゆえに $(*)$ は成り立つ。

(i)〜(iii) より、すべての自然数 $k$ に対して $(*)$ が成り立つことが示された。したがって、 $z_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + 2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right) - (y_{k+1} - y_k) = \frac{k(k+1)}{2}$ となり、$n=k+1$ のときも $P(k+1)$ が成り立つ。

(I), (II) より、すべての自然数 $n$ について $z_n = \frac{n(n-1)}{2}$ である。

解説

複雑な漸化式ですが、求めるべきものが $x_n - y_n$ というひとつの数列であることに着目します。このような場合は、無理に一般項 $x_n$ や $y_n$ を別々に求めようとせず、初項からいくつか具体的な値を書き出して規則性を推測し、数学的帰納法で証明するという方針が最も確実です。帰納法のステップにおいて、$y_{k+1} - y_k$ と $2\cos\left(\frac{2\pi x_k}{3}\right)$ の項が相殺されることを示す部分が証明の核となります。ここで整数の性質や合同式（MOD 3）の考え方を用いて、式が $3$ の倍数や「$3$ の倍数 $+ 1$」になることを論理的かつ簡潔に記述できるかが問われています。