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東北大学 2020年理系第6問解説

方針・初手

(1) は積分区間が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ であることを用いて、$x \mapsto \dfrac{\pi}{2}-x$ の置換と $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ を使えばよい。

(2) は $u=\cos x$ の置換で直接求まる。

(3) は部分積分が有効である。これにより $A(m,n+2)$ を $A(m+2,n)$ に結びつける漸化式が得られる。

(4) は、奇数側を $1$ まで下げていくと (2) に帰着できることを示せばよい。

解法1

まず

$$ A(m,n)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^m x\sin^n x,dx $$

である。

（1） 2つの等式の証明

まず $A(m,n)=A(n,m)$ を示す。

$x=\dfrac{\pi}{2}-t$ とおくと、$dx=-dt$ であり、$x=0$ のとき $t=\dfrac{\pi}{2}$、$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $t=0$ であるから、

$$ \begin{aligned} A(m,n) &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^m x\sin^n x,dx \\ &=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \cos^m!\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\sin^n!\left(\frac{\pi}{2}-t\right)(-dt) \\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^m t\cos^n t,dt \\ &=A(n,m). \end{aligned} $$

次に $A(m+2,n)+A(m,n+2)=A(m,n)$ を示す。

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$ より

$$ \cos^m x\sin^n x =\cos^m x\sin^n x(\sin^2 x+\cos^2 x) =\cos^m x\sin^{n+2}x+\cos^{m+2}x\sin^n x $$

である。よって両辺を $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分して

$$ A(m,n)=A(m,n+2)+A(m+2,n) $$

を得る。

（2） $A(m,1)$ を求める

$$ A(m,1)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^m x\sin x,dx $$

において $u=\cos x$ とおくと、$du=-\sin x,dx$ であり、$x=0$ のとき $u=1$、$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $u=0$ であるから、

$$ \begin{aligned} A(m,1) &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^m x\sin x,dx \\ &=\int_1^0 u^m(-du) \\ &=\int_0^1 u^m,du \\ &=\frac{1}{m+1}. \end{aligned} $$

したがって

$$ A(m,1)=\frac{1}{m+1} $$

である。

（3）漸化式の証明

$$ A(m,n+2)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^m x\sin^{n+2}x,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}x\cdot \cos^m x\sin x,dx $$

と書く。ここで部分積分を用いる。

$$ u=\sin^{n+1}x,\qquad dv=\cos^m x\sin x,dx $$

とおくと、

$$ du=(n+1)\sin^n x\cos x,dx,\qquad v=-\frac{1}{m+1}\cos^{m+1}x $$

である。よって

$$ \begin{aligned} A(m,n+2) &=\left[-\frac{1}{m+1}\sin^{n+1}x\cos^{m+1}x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} +\frac{n+1}{m+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{m+2}x\sin^n x,dx. \end{aligned} $$

端点では $x=0$ で $\sin^{n+1}0=0$、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos^{m+1}\dfrac{\pi}{2}=0$ であるから、境界項は $0$ になる。したがって

$$ A(m,n+2)=\frac{n+1}{m+1}A(m+2,n) $$

が成り立つ。

（4） $m$ または $n$ が奇数ならば $A(m,n)$ は有理数であることの証明

まず $n$ が奇数の場合を示す。$n=2k+1$ とおく。

(i)

$k=0$、すなわち $n=1$ のときは、(2) より

$$ A(m,1)=\frac{1}{m+1} $$

であり、有理数である。

(ii)

$k\geq 1$ のとき、(3) において $n$ を $2k-1$ とすると

$$ A(m,2k+1)=\frac{2k}{m+1}A(m+2,2k-1) $$

を得る。右辺の $A(m+2,2k-1)$ について同様の式を繰り返し用いると、

$$ \begin{aligned} A(m,2k+1) &=\frac{2k}{m+1}A(m+2,2k-1) \\ &=\frac{2k}{m+1}\cdot \frac{2k-2}{m+3}A(m+4,2k-3) \\ &\quad \cdots \\ &=\frac{2k(2k-2)\cdots 2}{(m+1)(m+3)\cdots (m+2k-1)}A(m+2k,1). \end{aligned} $$

ここで (2) を用いると

$$ A(m+2k,1)=\frac{1}{m+2k+1} $$

であるから、

$$ A(m,2k+1) =\frac{2k(2k-2)\cdots 2}{(m+1)(m+3)\cdots (m+2k+1)}. $$

したがって $A(m,2k+1)$ は有理数である。

次に $m$ が奇数の場合は、(1) の対称性 $A(m,n)=A(n,m)$ を用いれば、

$$ A(m,n)=A(n,m) $$

となり、右辺は第2引数が奇数の場合であるから有理数である。

以上より、$m$ または $n$ が奇数ならば $A(m,n)$ は有理数である。