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東京大学 1998年文系第3問解説

方針・初手

（1）では、与えられた絶対値を含む三角関数の連立方程式から $y$ を $x$ で表す。$y$ の変域が $0^\circ \leqq y \leqq 90^\circ$ であるため、常に $\sin y \geqq 0$, $\cos y \geqq 0$ となり、各象限ごとに絶対値を外すことで $y$ を一意に決定できる。

（2）では、（1）で求めた関係式を関数 $y = f(x)$ とみなし、漸化式 $\theta_{n+1} = f(\theta_n)$ によって定まる数列の挙動を考える。$f(x)$ のグラフの形状（折れ線）に着目し、合成関数 $f^{(k-1)}(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を図形的に数え上げる手法が有効である。

解法1

(1)

$0^\circ \leqq y \leqq 90^\circ$ であるから、常に $\sin y \geqq 0$ かつ $\cos y \geqq 0$ である。したがって、$y$ は $\sin y$ または $\cos y$ の値によって一意に定まる。 $0^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$ より、$0^\circ \leqq 4x \leqq 360^\circ$ であるから、$4x$ の値の範囲によって場合分けを行う。

(i)

$0^\circ \leqq 4x \leqq 90^\circ$ すなわち $0^\circ \leqq x \leqq 22.5^\circ$ のとき

$\sin 4x \geqq 0$ かつ $\cos 4x \geqq 0$ であるから、

$$ \begin{cases} \sin y = \sin 4x \\ \cos y = \cos 4x \end{cases} $$

$0^\circ \leqq 4x \leqq 90^\circ$ であるため、$y = 4x$ となる。

(ii)

$90^\circ \leqq 4x \leqq 180^\circ$ すなわち $22.5^\circ \leqq x \leqq 45^\circ$ のとき

$\sin 4x \geqq 0$ かつ $\cos 4x \leqq 0$ であるから、

$$ \begin{cases} \sin y = \sin 4x \\ \cos y = -\cos 4x \end{cases} $$

ここで、$\sin(180^\circ - 4x) = \sin 4x$、$\cos(180^\circ - 4x) = -\cos 4x$ であり、$0^\circ \leqq 180^\circ - 4x \leqq 90^\circ$ を満たすので、$y = 180^\circ - 4x$ となる。

(iii)

$180^\circ \leqq 4x \leqq 270^\circ$ すなわち $45^\circ \leqq x \leqq 67.5^\circ$ のとき

$\sin 4x \leqq 0$ かつ $\cos 4x \leqq 0$ であるから、

$$ \begin{cases} \sin y = -\sin 4x \\ \cos y = -\cos 4x \end{cases} $$

ここで、$\sin(4x - 180^\circ) = -\sin 4x$、$\cos(4x - 180^\circ) = -\cos 4x$ であり、$0^\circ \leqq 4x - 180^\circ \leqq 90^\circ$ を満たすので、$y = 4x - 180^\circ$ となる。

(iv)

$270^\circ \leqq 4x \leqq 360^\circ$ すなわち $67.5^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$ のとき

$\sin 4x \leqq 0$ かつ $\cos 4x \geqq 0$ であるから、

$$ \begin{cases} \sin y = -\sin 4x \\ \cos y = \cos 4x \end{cases} $$

ここで、$\sin(360^\circ - 4x) = -\sin 4x$、$\cos(360^\circ - 4x) = \cos 4x$ であり、$0^\circ \leqq 360^\circ - 4x \leqq 90^\circ$ を満たすので、$y = 360^\circ - 4x$ となる。

以上より、$y$ を $x$ で表すと以下のようになる。

$$ y = \begin{cases} 4x & (0^\circ \leqq x \leqq 22.5^\circ) \\ -4x + 180^\circ & (22.5^\circ \leqq x \leqq 45^\circ) \\ 4x - 180^\circ & (45^\circ \leqq x \leqq 67.5^\circ) \\ -4x + 360^\circ & (67.5^\circ \leqq x \leqq 90^\circ) \end{cases} $$

このグラフは、$xy$ 平面上において、$5$ 点 $(0^\circ, 0^\circ)$, $(22.5^\circ, 90^\circ)$, $(45^\circ, 0^\circ)$, $(67.5^\circ, 90^\circ)$, $(90^\circ, 0^\circ)$ を順に結ぶ折れ線となる。

(2)

（1）で求めた関数を $f(x)$ とおくと、漸化式は $\theta_{n+1} = f(\theta_n)$ と表せる。 $\theta_1 = \alpha$ より、$\theta_2 = f(\alpha)$、$\theta_3 = f(f(\alpha))$ となり、一般に $k \geqq 2$ のとき、

$$ \theta_k = f^{(k-1)}(\alpha) $$

となる（ただし、$f^{(m)}(x)$ は $f(x)$ を $m$ 回合成した関数を表す）。求めるものは、方程式 $f^{(k-1)}(\alpha) = 0^\circ$ を満たす $\alpha$ ($0^\circ \leqq \alpha \leqq 90^\circ$) の個数である。

$y = f(x)$ のグラフは、区間 $0^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$ において、$y=0^\circ$ と $y=90^\circ$ の間を $2$ 往復する（つまり、$4$ つの単調な区間からなる）折れ線である。関数 $y = f^{(n)}(x)$ のグラフの形状について帰納的に考える。 $y = f(x)$ の $1$ つの単調な区間（例えば $0^\circ \leqq x \leqq 22.5^\circ$）において、$f(x)$ の値は $0^\circ$ から $90^\circ$ まで（または $90^\circ$ から $0^\circ$ まで）変化する。このとき、さらに $f$ を合成した $f(f(x))$ の値は、その区間内で $f(x)$ の全体グラフと同じ形状を描く。すなわち、$y = f^{(2)}(x)$ のグラフは、$y=f(x)$ の各々の単調な区間をさらに $4$ 等分した区間で $0^\circ$ と $90^\circ$ の間を往復する折れ線となり、単調な区間の総数は $4 \times 4 = 4^2$ 個となる。

これを繰り返すと、$y = f^{(n)}(x)$ のグラフは、区間 $0^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$ を $4^n$ 等分した各々の区間において、$0^\circ$ から $90^\circ$ へ増加、または $90^\circ$ から $0^\circ$ へ減少する線分を繋ぎ合わせた折れ線となる。

$x=0^\circ$ のとき $f^{(n)}(0^\circ) = 0^\circ$ であるから、グラフは $(0^\circ, 0^\circ)$ から出発し、増加と減少を交互に繰り返す。単調な区間は全部で $4^n$ 個あり、そのうち半分が減少する区間（$y=90^\circ$ から $y=0^\circ$ に向かう区間）である。

$y=0^\circ$ となるのは、最初の出発点 $x=0^\circ$ と、減少する各区間の右端の点である。したがって、$f^{(n)}(x) = 0^\circ$ となる $x$ の個数は、出発点 $1$ 個と、減少する区間の個数 $\frac{4^n}{2}$ 個の合計となり、

$$ \frac{4^n}{2} + 1 = 2 \cdot 4^{n-1} + 1 $$

個である。

本問では $n = k-1$ であるから、$\theta_k = f^{(k-1)}(\alpha) = 0^\circ$ となる $\alpha$ の個数は、

$$ 2 \cdot 4^{(k-1)-1} + 1 = 2 \cdot 4^{k-2} + 1 = 2^{2k-3} + 1 $$

となる。

解説

絶対値を含む三角関数のグラフと、その反復合成（力学系）に関する問題である。（1）では、与えられた等式から $y$ がただ一つに定まることに着目し、角度 $4x$ の属する象限によって場合分けを丁寧に行うことが求められる。得られるグラフは、いわゆる「テント写像」の変形版となっている。（2）では、テント写像の反復合成によるグラフの性質を利用する。数式で直接解こうとすると非常に複雑になるため、グラフの形状（単調な区間の個数と増減の繰り返し）から図形的に共有点の個数を数え上げる手法が極めて有効である。合成関数のグラフがフラクタル的な自己相似性を持つことを直感的に把握できると見通しが良くなる。

答え

(1)

$y$ を $x$ で表すと、

グラフは $xy$ 平面上において、$5$ 点 $(0^\circ, 0^\circ)$, $(22.5^\circ, 90^\circ)$, $(45^\circ, 0^\circ)$, $(67.5^\circ, 90^\circ)$, $(90^\circ, 0^\circ)$ を順に結ぶ折れ線となる。（図示は略）

(2)

$$ 2^{2k-3} + 1 $$