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京都大学 2025年理系第2問解説

方針・初手

$N = x^6 + y^4 = 9z^2$ という方程式から条件を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ を見つけ、$N$ の最小値を求める問題です。

$x^6$ の項は $x$ が大きくなると急速に値が大きくなるため、$N$ を最小にするには $x$ がかなり小さい値になることが予想されます。そこで、$9z^2 - y^4 = x^6$ と移項し、左辺を平方の差とみなして $(3z - y^2)(3z + y^2) = x^6$ と因数分解するアプローチが有効です。ここから $x$ に小さい正の整数から順に代入して調べる解法（解法1）と、両辺を $3$ で割った余りに着目して $x, y$ の候補を絞り込む解法（解法2）を示します。

解法1

与式から $y^4$ を移項して因数分解すると、以下のようになる。

$$ 9z^2 - y^4 = x^6 $$

$$ (3z - y^2)(3z + y^2) = x^6 $$

$y, z$ は正の整数であるから、$3z + y^2 > 0$ である。積が $x^6 (>0)$ となるため、$3z - y^2 > 0$ も成り立つ。また、$3z + y^2 > 3z - y^2$ である。

$N$ の最小値を求めるため、$x$ が小さい順に正の整数を代入して調べる。

[1] $x=1$ のとき

$(3z - y^2)(3z + y^2) = 1$

両方の因数は正の整数であるから、ともに $1$ となるしかない。

$3z - y^2 = 1$ かつ $3z + y^2 = 1$

辺々引くと $2y^2 = 0$ となり $y=0$ となるが、これは $y$ が正の整数であることに矛盾する。よって不適。

[2] $x=2$ のとき

$(3z - y^2)(3z + y^2) = 64$

$(3z + y^2) + (3z - y^2) = 6z$（偶数）であるから、2つの因数の和は偶数となり、両者の偶奇は一致する。積が $64$ であるから、両方とも偶数である。

大小関係 $3z - y^2 < 3z + y^2$ に注意して、積が $64$ になる正の偶数の組を挙げると、

$(3z - y^2,\ 3z + y^2) = (2, 32),\ (4, 16)$

$(2, 32)$ のとき、和をとると $6z = 34$ となり、これを満たす整数 $z$ は存在しない。
$(4, 16)$ のとき、和をとると $6z = 20$ となり、これを満たす整数 $z$ は存在しない。

よって $x=2$ のときは不適。

[3] $x=3$ のとき

$(3z - y^2)(3z + y^2) = 729 = 3^6$

[2] と同様に和は $6z$ で偶数となるため、2つの因数の偶奇は一致する。積が $729$（奇数）であるから、両方とも奇数である。

積が $729$ になる奇数の組は以下の3通り。

$(3z - y^2,\ 3z + y^2) = (1, 729),\ (3, 243),\ (9, 81)$

それぞれについて差をとることで $y$ を求める。$(3z + y^2) - (3z - y^2) = 2y^2$ である。

$(1, 729)$ のとき、$2y^2 = 728 \iff y^2 = 364$ となり、$y$ は整数にならない。
$(3, 243)$ のとき、$2y^2 = 240 \iff y^2 = 120$ となり、$y$ は整数にならない。
$(9, 81)$ のとき、$2y^2 = 72 \iff y^2 = 36$ となり、$y=6$（正の整数）を得る。このとき、和をとると $6z = 90 \iff z=15$（正の整数）となる。

したがって、正の整数の組 $(x, y, z) = (3, 6, 15)$ が見つかった。

このときの $N$ の値は $N = 9 \cdot 15^2 = 2025$ である。（$3^6 + 6^4 = 729 + 1296 = 2025$ と一致する）

[4] $x \geqq 4$ のとき

もし $x \geqq 4$ で条件を満たす組があったとしても、そのときの $N$ は

$$ N = x^6 + y^4 > x^6 \geqq 4^6 = 4096 $$

となる。これは[3]で見つけた $N = 2025$ よりも大きいため、最小値にはなり得ない。

以上より、$N$ の最小値は $\boldsymbol{2025}$ である。