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九州大学 1964年文系第4問解説

方針・初手

実数係数の三次方程式が虚数解をもつ場合、その共役複素数も解となる性質を利用する。あるいは、与えられた虚数解を方程式に直接代入し、ド・モアブルの定理を用いて実部と虚部に分け、それぞれの条件から未知数を決定する方針をとる。

解法1

(1)

方程式 $x^3 + x^2 - x + a = 0$ の係数はすべて実数であるから、$\cos\theta + i\sin\theta$ が解であれば、その共役複素数 $\cos\theta - i\sin\theta$ も解である。もう1つの解は実数になるので、これを $\beta$ とおく。

三次方程式の解と係数の関係より、以下の3式が成り立つ。

$$\begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta) + (\cos\theta - i\sin\theta) + \beta &= -1 \\ (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta) + \beta(\cos\theta + i\sin\theta) + \beta(\cos\theta - i\sin\theta) &= -1 \\ (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta)\beta &= -a \end{aligned}$$

第1式を整理すると、

$$2\cos\theta + \beta = -1$$

$$\beta = -1 - 2\cos\theta$$

となる。

第2式は $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を用いて整理すると、

$$1 + 2\beta\cos\theta = -1$$

となる。これに先ほど求めた $\beta$ を代入すると、

$$1 + 2(-1 - 2\cos\theta)\cos\theta = -1$$

$$1 - 2\cos\theta - 4\cos^2\theta = -1$$

$$4\cos^2\theta + 2\cos\theta - 2 = 0$$

$$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$$

$$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \cos\theta < 1$ であるから、

$$\cos\theta = \frac{1}{2}$$

したがって、$\theta$ の値は、

$$\theta = \frac{\pi}{3}$$

(2)

(1) の結果より $\cos\theta = \frac{1}{2}$ であるから、

$$\beta = -1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = -2$$

第3式より $\beta = -a$ であるから、

$$a = 2$$

また、このときの三次方程式の解は $\cos\frac{\pi}{3} \pm i\sin\frac{\pi}{3}$ と $\beta = -2$ であるから、

$$x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i, \ -2$$

解法2

(1)

$x = \cos\theta + i\sin\theta$ を与えられた方程式に代入する。ド・モアブルの定理より $x^2 = \cos2\theta + i\sin2\theta$、$x^3 = \cos3\theta + i\sin3\theta$ であるから、

$$(\cos3\theta + i\sin3\theta) + (\cos2\theta + i\sin2\theta) - (\cos\theta + i\sin\theta) + a = 0$$

実部と虚部を分けて整理すると、

$$(\cos3\theta + \cos2\theta - \cos\theta + a) + i(\sin3\theta + \sin2\theta - \sin\theta) = 0$$

$a, \theta$ は実数であるから、両辺の実部と虚部を比較して以下の関係式を得る。

$$\begin{aligned} \cos3\theta + \cos2\theta - \cos\theta + a &= 0 \quad \cdots ① \\ \sin3\theta + \sin2\theta - \sin\theta &= 0 \quad \cdots ② \end{aligned}$$

②について、和積の公式 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ と、2倍角の公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$(\sin3\theta - \sin\theta) + \sin2\theta = 0$$

$$2\cos2\theta\sin\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 0$$

$$2\sin\theta(\cos2\theta + \cos\theta) = 0$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin\theta > 0$ であるため、両辺を $2\sin\theta$ で割ることができる。

$$\cos2\theta + \cos\theta = 0$$

2倍角の公式 $\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より、

$$(2\cos^2\theta - 1) + \cos\theta = 0$$

$$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$$

$$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \cos\theta < 1$ であるから、

$$\cos\theta = \frac{1}{2}$$

したがって、$\theta$ の値は、

$$\theta = \frac{\pi}{3}$$

(2)

①に $\theta = \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$$\cos\pi + \cos\frac{2\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{3} + a = 0$$

$$-1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + a = 0$$

$$a = 2$$

このとき、方程式は $x^3 + x^2 - x + 2 = 0$ となる。因数定理を用いて左辺を因数分解すると、$(x+2)(x^2-x+1) = 0$ となる。したがって、三次方程式の解は $x = -2$ と、二次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ を解の公式で解いて得られる $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ である。