トップ› 九州大学› 1975年› 文系第4問

九州大学 1975年文系第4問解説

方針・初手

隣接3項間漸化式の典型的な問題である。特性方程式 $3x^2 - 4x + 1 = 0$ の解を利用し、与えられた漸化式を等比数列の形に変形することが基本方針となる。本問では項の番号が $n \geqq 3$ から始まっているため、指数のズレや項数に注意して処理を進める。

解法1

(1)

与えられた漸化式 $3a_n - 4a_{n-1} + a_{n-2} = 0 \ (n \geqq 3)$ は、次のように変形できる。

$$3(a_n - a_{n-1}) - (a_{n-1} - a_{n-2}) = 0$$

$$a_n - a_{n-1} = \frac{1}{3} (a_{n-1} - a_{n-2})$$

よって、数列 $\{a_n - a_{n-1}\}$ は、初項 $a_2 - a_1$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。したがって、$n \geqq 3$ のとき、

$$a_n - a_{n-1} = (a_2 - a_1) \left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}$$

(2)

(1) の結果より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が求まった。 $n \geqq 3$ のとき、$a_n$ は次のように計算できる。

$$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n} (a_k - a_{k-1})$$

ここで、和の項数が $(n - 2) + 1 = n - 1$ 個であることに注意して計算を進める。

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=2}^{n} (a_2 - a_1) \left(\frac{1}{3}\right)^{k-2} \\ &= a_1 + (a_2 - a_1) \frac{1 \cdot \left\{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= a_1 + \frac{3}{2}(a_2 - a_1) \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right\} \end{aligned}$$

(3)

(2) で求めた式において、$n \to \infty$ の極限を考える。 $-1 < \frac{1}{3} < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 0$ となる。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = a_1 + \frac{3}{2}(a_2 - a_1)$$

問題の条件より $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$、$a_1 = 1$ であるから、これを代入する。

$$1 + \frac{3}{2}(a_2 - 1) = 0$$

この方程式を解いて、

$$a_2 = \frac{1}{3}$$

このとき、$a_n \ (n \geqq 2)$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} a_n &= 1 + \frac{3}{2} \left(\frac{1}{3} - 1\right) \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right\} \\ &= 1 - 1 \cdot \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right\} \\ &= \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned}$$

解法2

(2)の別解

与えられた漸化式は、特性方程式のもう1つの解を用いて次のように変形することもできる。

$$a_n - \frac{1}{3} a_{n-1} = a_{n-1} - \frac{1}{3} a_{n-2}$$

これにより、数列 $\left\{a_n - \frac{1}{3} a_{n-1}\right\}$ はすべての $n \geqq 3$ に対して一定値をとる定数数列であることがわかる。したがって、

$$a_n - \frac{1}{3} a_{n-1} = a_2 - \frac{1}{3} a_1$$

この式から $a_{n-1}$ を消去するため、(1) で求めた結果を用いる。

$$a_n - a_{n-1} = (a_2 - a_1) \left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}$$

上の定数数列の式から、下の式の $\frac{1}{3}$ 倍を引く。

$$\begin{aligned} a_n - \frac{1}{3}(a_n - a_{n-1}) - \frac{1}{3} a_{n-1} &= \left(a_2 - \frac{1}{3} a_1\right) - \frac{1}{3} (a_2 - a_1) \left(\frac{1}{3}\right)^{n-2} \\ \frac{2}{3} a_n &= a_2 - \frac{1}{3} a_1 - (a_2 - a_1) \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned}$$

両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けて整理する。

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{3}{2} a_2 - \frac{1}{2} a_1 - \frac{3}{2} (a_2 - a_1) \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \\ &= a_1 + \frac{3}{2} a_2 - \frac{3}{2} a_1 - \frac{3}{2} (a_2 - a_1) \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \\ &= a_1 + \frac{3}{2}(a_2 - a_1) \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right\} \end{aligned}$$

解説

特性方程式 $3x^2 - 4x + 1 = 0$ から得られる $2$ つの解 $x = 1, \frac{1}{3}$ を用いて、漸化式を等比数列の形に変形する定石通りの解法である。
(2)において、階差数列の和の公式を用いる「解法1」と、2種類の変形した漸化式を連立させて $a_{n-1}$ を消去する「解法2」を示した。解法2の方がシグマ計算による項数の間違いなどのミスを防ぎやすいため、隣接3項間漸化式においては推奨される手法である。
一般的に、階差数列から一般項を求める場合、$n \geqq 2$ といった条件が付くことが多いが、本問は漸化式自体が $n \geqq 3$ から与えられているため、インデックスの扱いに慣れていないと計算ミスを誘発しやすい。
(3)では求めた一般項に対して $n \to \infty$ の極限を適用する。公比が $-1 < r < 1$ を満たす等比数列の極限が $0$ になるという基本性質を正しく適用できれば容易に解ける。