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九州大学 1975年文系第3問解説

方針・初手

与えられた3次方程式 $8x^3 - 6x + 1 = 0$ の係数に着目し、三角関数の3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ を利用して方程式の構造を読み解く。

解法1

(1)

正弦の3倍角の公式より、任意の角 $\theta$ に対して次が成り立つ。

$$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$$

ここで $\theta = 10^\circ$ とすると、$3\theta = 30^\circ$ であり $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であるから、

$$\frac{1}{2} = 3\sin 10^\circ - 4\sin^3 10^\circ$$

両辺に $2$ を掛けて整理すると、

$$1 = 6\sin 10^\circ - 8\sin^3 10^\circ$$

$$8\sin^3 10^\circ - 6\sin 10^\circ + 1 = 0$$

これは、$x = \sin 10^\circ$ が3次方程式 $8x^3 - 6x + 1 = 0$ を満たすことを示している。したがって、$x = \sin 10^\circ$ は与えられた3次方程式の根である。（証明終）

(2)

(1)の考察から、$x = \sin \theta$ とおくと、方程式 $8x^3 - 6x + 1 = 0$ は次のように変形できる。

$$-2(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) + 1 = 0$$

$$-2\sin 3\theta + 1 = 0$$

$$\sin 3\theta = \frac{1}{2}$$

この方程式を満たす角 $3\theta$ を一般角で求めると、$k$ を任意の整数として次のようになる。

$$3\theta = 30^\circ + 360^\circ k \quad \text{または} \quad 3\theta = 150^\circ + 360^\circ k$$

両辺を $3$ で割ると、$\theta$ は次のように表される。

$$\theta = 10^\circ + 120^\circ k \quad \text{または} \quad \theta = 50^\circ + 120^\circ k$$

これらから得られる $x = \sin \theta$ の値のうち、相異なるものを探す。

($k=0$ のとき)

$$\theta = 10^\circ, 50^\circ \implies x = \sin 10^\circ, \sin 50^\circ$$

($k=1$ のとき)

$$\theta = 130^\circ, 170^\circ$$

ここで、$\sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ$、$\sin 170^\circ = \sin(180^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ$ となり、既出の値と一致する。

($k=2$ のとき)

$$\theta = 250^\circ, 290^\circ$$

ここで、$\sin 250^\circ = \sin(180^\circ + 70^\circ) = -\sin 70^\circ$、$\sin 290^\circ = \sin(360^\circ - 70^\circ) = -\sin 70^\circ$ となる。したがって、新たな根として $x = \sin 250^\circ$ （あるいは $-\sin 70^\circ$）が得られる。

以上より、与えられた3次方程式の相異なる3つの根は $\sin 10^\circ, \sin 50^\circ, \sin 250^\circ$ である。 (1)により $x = \sin 10^\circ$ は既知であるため、求める他の2つの根は $\sin 50^\circ, \sin 250^\circ$ である。

解説

三角関数の3倍角の公式を用いて3次方程式の解を求める典型的な問題である。方程式の係数比である $8 : -6 = -4 : 3$ に気づけば、$-\sin 3\theta$ の展開式がすぐに連想できる。3次方程式であるため実数解は最大3つ存在し、単位円上の対称性を利用することで重複なくすべての根を見つけることができる。解答の表記として、$\sin 250^\circ$ を $-\sin 70^\circ$ や $-\cos 20^\circ$、$\sin 50^\circ$ を $\cos 40^\circ$ のように変形して答えても正解となる。