大阪大学 1986年 文系 第4問 解説

方針・初手

交点 $A$ および直線 $l$ と $x$ 軸の交点を求める。その際、$x$ 座標をそのまま扱うと計算が複雑になるため、適宜文字で置き換えて見通しを良くすることがポイントである。また、求める回転体の体積 $V_1$ と $V_2$ について、グラフの領域を図形的に把握し、$V_1 + V_2$ が単純な回転体の体積になることに気づくと計算量を大幅に減らすことができる。

解法1

曲線 $C: y = \sqrt{x}$ と直線 $l: y = a(x - 1) - 1$ の交点 $A$ の座標を求める。

$y$ を消去して、

$$ \sqrt{x} = a(x - 1) - 1 $$

$$ a(x - 1) - (1 + \sqrt{x}) = 0 $$

$$ a(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 1) = 0 $$

$$ (\sqrt{x} + 1)\{a(\sqrt{x} - 1) - 1\} = 0 $$

$x \ge 0$ より $\sqrt{x} + 1 > 0$ であるから、

$$ a(\sqrt{x} - 1) - 1 = 0 $$

$a > 0$ より、

$$ \sqrt{x} = 1 + \frac{1}{a} $$

ここで、計算を簡略化するため $b = 1 + \frac{1}{a}$ とおく。$a > 0$ より $b > 1$ である。

$\sqrt{x} = b$ より、$A$ の $x$ 座標は $b^2$、すなわち $A(b^2, b)$ となる。

次に、直線 $l$ と $x$ 軸の交点を求める。

$l$ の方程式において $y = 0$ とすると、

$$ a(x - 1) - 1 = 0 $$

$$ x = 1 + \frac{1}{a} = b $$

よって、交点は $(b, 0)$ である。

$C$ と $l$ と $x$ 軸で囲まれた図形は、$0 \le x \le b^2$ における $C$ と $x$ 軸の間の領域から、$b \le x \le b^2$ における $l$ と $x$ 軸の間の領域を除いた部分である。

したがって、これを $x$ 軸まわりに回転してできる体積 $V_1$ は、

$$ V_1 = \int_{0}^{b^2} \pi (\sqrt{x})^2 dx - V_2' $$

と表せる。ここで $V_2'$ は、直線 $l$ と $x$ 軸、および直線 $x = b^2$ で囲まれた図形を $x$ 軸まわりに回転してできる体積である。

問題文の定義によれば、$A$ を通り $y$ 軸に平行な直線は $x = b^2$ であるから、$V_2'$ はまさに $V_2$ そのものである。

ゆえに、

$$ V_1 = \int_{0}^{b^2} \pi x dx - V_2 $$

が成り立つ。

$V_1 = V_2$ となる条件は、

$$ \int_{0}^{b^2} \pi x dx - V_2 = V_2 $$

$$ \int_{0}^{b^2} \pi x dx = 2V_2 $$

となる。

左辺を計算すると、

$$ \int_{0}^{b^2} \pi x dx = \pi \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{b^2} = \frac{1}{2} \pi b^4 $$

一方、$V_2$ は頂点が $(b, 0)$、底面が $x = b^2$ 上の円となる円錐の体積である。底面の半径は $b$、高さは $b^2 - b$ であるから、

$$ V_2 = \frac{1}{3} \pi b^2 (b^2 - b) $$

したがって、方程式は次のようになる。

$$ \frac{1}{2} \pi b^4 = 2 \times \frac{1}{3} \pi b^2 (b^2 - b) $$

$$ \frac{1}{2} \pi b^4 = \frac{2}{3} \pi b^2 (b^2 - b) $$

両辺を $\pi b^2$ ($b > 1$ より $\pi b^2 \neq 0$) で割ると、

$$ \frac{1}{2} b^2 = \frac{2}{3} (b^2 - b) $$

両辺に $6$ を掛けて整理する。

$$ 3b^2 = 4(b^2 - b) $$

$$ b^2 - 4b = 0 $$

$$ b(b - 4) = 0 $$

$b > 1$ であるから、$b = 4$ を得る。

最後に $a$ を求める。$b = 1 + \frac{1}{a}$ より、

$$ 1 + \frac{1}{a} = 4 $$

$$ \frac{1}{a} = 3 $$

$$ a = \frac{1}{3} $$

解説

交点 $A$ の座標を求める際、両辺を2乗して方程式を作ると計算が困難になる。$x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ と因数分解して処理するのが定石である。

また、図形を描いて領域の足し引きを考えると、$V_1 + V_2 = \int_{0}^{b^2} \pi y^2 dx$ という関係に気づくことができる。これにより、$V_1$ を直接定積分で求める煩雑な計算を回避でき、計算ミスを減らすことにつながる。

答え

$$ a = \frac{1}{3} $$