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九州大学 2002年文系第2問解説

方針・初手

約数の総和関数 $f(n)$ の基本的な性質と不等式評価を用いる問題である。 (1) は、$n$ が互いに素な因数に分解できるとき、約数の和も積の形に分解できるという基本性質（乗法性）の証明である。 (2) は、約数の一部を拾い上げることで $f(a)$ の下限を評価する。等号成立条件を丁寧に調べることが重要となる。 (3) は、(1) の結果を用いて条件式を整理し、(2) の不等式評価を利用して変数の取り得る範囲を絞り込む。

解法1

(1)

$a = 2^m b$ において、$b$ は正の奇数であるから、$2^m$ と $b$ は互いに素である。

$a$ の正の約数は、$2^k c$ （$k = 0, 1, \cdots, m$、$c$ は $b$ の正の約数）と一意に表すことができる。

したがって、$a$ の正の約数の和 $f(a)$ は、以下のようになる（$\sum_{c|b}$ は $b$ の正の約数全体にわたる和を表す）。

$$f(a) = \sum_{k=0}^m \sum_{c|b} 2^k c$$

これを因数分解の形で整理すると、

$$f(a) = \left( \sum_{k=0}^m 2^k \right) \left( \sum_{c|b} c \right)$$

ここで、問題文で与えられた等比数列の和の公式を用いると、

$$\sum_{k=0}^m 2^k = 1 + 2 + \cdots + 2^m = \frac{2^{m+1}-1}{2-1} = 2^{m+1}-1$$

また、$b$ の正の約数の和は定義より $f(b)$ であるから、

$$\sum_{c|b} c = f(b)$$

以上より、これらを代入して

$$f(a) = (2^{m+1}-1)f(b)$$

が成り立つことが示された。

(2)

$a = pq$ において、$p \geqq 2$、$q \geqq 1$ であるから、$q < pq$ が成り立つ。

したがって、$a$ の正の約数には、少なくとも $q$ と $pq$ という $2$ つの異なる整数が含まれる。

$f(a)$ は $a$ のすべての正の約数の和であるから、その一部の和以上の値をとるため、

$$f(a) \geqq q + pq = (p+1)q$$

が成り立つ。

次に、等号が成り立つ条件を考える。

$f(a) = q + pq$ となるのは、$a$ の正の約数が $q$ と $pq$ の $2$ つのみであるときである。

しかし、任意の正の整数 $a$ は必ず $1$ を約数に持つため、約数がこの $2$ つのみであるためには、$1$ が $q$ または $pq$ のいずれかと一致しなければならない。

$p \geqq 2$、$q \geqq 1$ より $pq \geqq 2$ であるため、$pq = 1$ にはなり得ない。よって、$q = 1$ である。

このとき、$a = p \cdot 1 = p$ であり、$a$ の約数は $1$ と $p$ のみとなる。

$a = p$ が $1$ と自身のみを約数に持つのは、$p$ が素数であるときに限られる。

逆に、$q = 1$ かつ $p$ が素数であるとき、$a = p$ の正の約数は $1$ と $p$ のみであり、

$$f(a) = 1 + p = (p+1) \cdot 1 = (p+1)q$$

となり、等号が成立する。

以上より、等号が成り立つのは $q=1$ かつ $p$ が素数であるときに限ることが示された。

(3)

$a = 2^2 r, b = 2^4 s$ （$r, s$ は正の奇数）に対して、(1) の結果を用いると

$$f(a) = (2^3-1)f(r) = 7f(r)$$

$$f(b) = (2^5-1)f(s) = 31f(s)$$

条件 $f(a) = 2b, f(b) = 2a$ に代入すると、

$$7f(r) = 2(2^4 s) = 32s \quad \cdots \text{①}$$

$$31f(s) = 2(2^2 r) = 8r \quad \cdots \text{②}$$

①より、$f(r) = \frac{32}{7}s$ となる。$f(r)$ は整数であり、$7$ と $32$ は互いに素であるから、$s$ は $7$ の倍数である。

$s$ は奇数であるから、$k$ を正の奇数として $s = 7k$ と表せる。

ここで (2) において $p=7, q=k$ とすると、$p \geqq 2, q \geqq 1$ を満たすので

$$f(s) = f(7k) \geqq (7+1)k = 8k \quad \cdots \text{③}$$

②より、$f(s) = \frac{8}{31}r$ となる。$f(s)$ は整数であり、$31$ と $8$ は互いに素であるから、$r$ は $31$ の倍数である。

$r$ は奇数であるから、$l$ を正の奇数として $r = 31l$ と表せる。

同様に (2) において $p=31, q=l$ とすると、

$$f(r) = f(31l) \geqq (31+1)l = 32l \quad \cdots \text{④}$$

③と②より

$$8r = 31f(s) \geqq 31 \cdot 8k = 248k$$

$$r \geqq 31k$$

$r = 31l$ であるから、$31l \geqq 31k$ より $l \geqq k$ が成り立つ。

④と①より

$$32s = 7f(r) \geqq 7 \cdot 32l = 224l$$

$$s \geqq 7l$$

$s = 7k$ であるから、$7k \geqq 7l$ より $k \geqq l$ が成り立つ。

$l \geqq k$ かつ $k \geqq l$ より、$k = l$ である。

このとき、$s \geqq 7l$ において等号が成立することになるため、不等式④においても等号が成立しなければならない。

すなわち、$f(31l) = 32l$ であり、(2) の等号成立条件を満たす。

(2) より、等号が成立するのは $l=1$ かつ $31$ が素数のときである。（$31$ は素数であるため条件を満たす）

$l=1$ より $k=1$ であり、

$$r = 31 \cdot 1 = 31$$

$$s = 7 \cdot 1 = 7$$

これらはともに正の奇数であり、条件を満たす。

したがって、求める $a, b$ は

$$a = 2^2 \cdot 31 = 124$$

$$b = 2^4 \cdot 7 = 112$$

である。

解説

約数の総和関数 $f(n)$ に関する整数問題である。 (2) で自ら証明した $f(pq) \geqq (p+1)q$ という不等式は、本問の核心となる評価式である。 (3) では、与えられた等式から「互いに素」という性質を用いて素因数の一部をあぶり出し、(2) の不等式を適用して $k \geqq l$ と $l \geqq k$ を導いて挟み撃ちにする典型的な論法が求められる。誘導にうまく乗れるかが完答への鍵となる。