トップ› 東北大学› 1999年› 文系第1問

東北大学 1999年文系第1問解説

方針・初手

与えられた等式 $\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$ を変形し、正接の加法定理 $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ の形を作ることを目指す。また、正接に結びつきやすい複素数の偏角を利用して見通しよく解くこともできる。角の範囲から取り得る値の候補を絞り込んだのち、それらが実際に成立すること（十分性）を具体例で確認する。

解法1

与えられた等式を変形する。

$$ \tan \alpha + \tan \beta = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma - \tan \gamma $$

$$ \tan \alpha + \tan \beta = -\tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta) \cdots (1) $$

ここで、$1 - \tan \alpha \tan \beta = 0$ と仮定すると、$\tan \alpha \tan \beta = 1$ である。このとき、式(1)は $\tan \alpha + \tan \beta = 0$ となるため、$\tan \beta = -\tan \alpha$ となる。これを $\tan \alpha \tan \beta = 1$ に代入すると $-\tan^2 \alpha = 1$ となるが、$\alpha$ は実数であるから $\tan \alpha$ も実数であり、これを満たす $\alpha$ は存在しない。したがって、$1 - \tan \alpha \tan \beta \neq 0$ であることが保証される。

式(1)の両辺を $1 - \tan \alpha \tan \beta$ で割ると、

$$ \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = -\tan \gamma $$

左辺に正接の加法定理を用いると、

$$ \tan(\alpha + \beta) = \tan(-\gamma) $$

となる。正接関数の周期性を考慮すると、$k$ を整数として、

$$ \alpha + \beta = -\gamma + 180^{\circ} \times k $$

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \times k $$

と表せる。問題の条件より $-90^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$、$-90^{\circ} < \beta < 90^{\circ}$、$-90^{\circ} < \gamma < 90^{\circ}$ であるから、各辺を足し合わせると、

$$ -270^{\circ} < \alpha + \beta + \gamma < 270^{\circ} $$

となる。この範囲に存在する $180^{\circ} \times k$ （$k$ は整数）は、$k = -1, 0, 1$ の場合であり、

$$ \alpha + \beta + \gamma = -180^{\circ}, 0^{\circ}, 180^{\circ} $$

の3つが候補として絞られる。

最後に、これらの値が実際に条件を満たすか（存在性）を確認する。

(i) $\alpha + \beta + \gamma = -180^{\circ}$ のとき $\alpha = \beta = \gamma = -60^{\circ}$ とすると、条件 $-90^{\circ} < \alpha, \beta, \gamma < 90^{\circ}$ を満たす。このとき、与式の左辺は $3\tan(-60^{\circ}) = -3\sqrt{3}$ であり、右辺は $\tan^3(-60^{\circ}) = (-\sqrt{3})^3 = -3\sqrt{3}$ となるため、等式は成立する。

(ii) $\alpha + \beta + \gamma = 0^{\circ}$ のとき $\alpha = \beta = \gamma = 0^{\circ}$ とすると、条件 $-90^{\circ} < \alpha, \beta, \gamma < 90^{\circ}$ を満たす。このとき、与式の左辺は $3\tan 0^{\circ} = 0$ であり、右辺は $\tan^3 0^{\circ} = 0$ となるため、等式は成立する。

(iii) $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$ のとき $\alpha = \beta = \gamma = 60^{\circ}$ とすると、条件 $-90^{\circ} < \alpha, \beta, \gamma < 90^{\circ}$ を満たす。このとき、与式の左辺は $3\tan 60^{\circ} = 3\sqrt{3}$ であり、右辺は $\tan^3 60^{\circ} = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$ となるため、等式は成立する。

以上より、すべての候補が実現可能であることが示された。

解法2

（複素数平面を利用する解法） 3つの複素数 $z_1 = 1 + i\tan \alpha$、$z_2 = 1 + i\tan \beta$、$z_3 = 1 + i\tan \gamma$ を考える。 $-90^{\circ} < \alpha, \beta, \gamma < 90^{\circ}$ であるから、これらは実部が正の複素数であり、その偏角はそれぞれ $\arg(z_1) = \alpha$、$\arg(z_2) = \beta$、$\arg(z_3) = \gamma$ である。

これらの積を計算すると、

$$ \begin{aligned} z_1 z_2 z_3 &= (1 + i\tan \alpha)(1 + i\tan \beta)(1 + i\tan \gamma) \\ &= \{ (1 - \tan \alpha \tan \beta) + i(\tan \alpha + \tan \beta) \}(1 + i\tan \gamma) \\ &= (1 - \tan \alpha \tan \beta - \tan \beta \tan \gamma - \tan \gamma \tan \alpha) + i(\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma - \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma) \end{aligned} $$

となる。問題の条件 $\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$ より、この複素数 $z_1 z_2 z_3$ の虚部は $0$ となる。さらに、$-90^{\circ} < \alpha, \beta, \gamma < 90^{\circ}$ の範囲で $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma \neq 0$ であるから $z_1, z_2, z_3 \neq 0$ となり、$z_1 z_2 z_3 \neq 0$ である。したがって、$z_1 z_2 z_3$ は $0$ でない実数である。

複素数の積の偏角について、一般に

$$ \arg(z_1 z_2 z_3) = \arg(z_1) + \arg(z_2) + \arg(z_3) = \alpha + \beta + \gamma $$

が成り立つ。$z_1 z_2 z_3$ は実数であるから、その偏角は $180^{\circ} \times k$ （$k$ は整数）と表せる。よって、

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \times k $$

問題の条件より $-270^{\circ} < \alpha + \beta + \gamma < 270^{\circ}$ であるから、

$$ \alpha + \beta + \gamma = -180^{\circ}, 0^{\circ}, 180^{\circ} $$

が得られる。（十分性の確認は解法1と同様であるため省略する。）

解説

$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$ という関係式は、$\alpha+\beta+\gamma = 180^{\circ}$（三角形の内角）のときなどに成り立つ恒等式として頻出である。本問では逆に、この等式が成り立つときに $\alpha+\beta+\gamma$ がどのような値になるかを問うている。

加法定理を用いる解法1が標準的だが、両辺を割る際に「分母が $0$ にならないことの証明（$1 - \tan \alpha \tan \beta \neq 0$ の確認）」を忘れないように注意が必要である。解法2のように、正接と関連の深い $1 + i\tan \theta$ という複素数を設定し、その積の偏角に帰着させる手法は、美しいだけでなく場合分けや分母の $0$ 割りの例外処理を回避しやすいという利点がある。また、導出された値はあくまで必要条件に過ぎないため、最後に「実際にその値を取り得るか（十分性）」の実例を挙げて確認することで論理の穴を塞ぐことができる。