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九州大学 1962年理系第3問解説

方針・初手

与えられた三角関数 $f(\theta), g(\theta)$ およびその和は、いずれも $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の1次結合である。これらは三角関数の合成を用いることで、$R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形できる。$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くとき、この関数の最大値は振幅 $R$ に等しいことを利用して、$a, b, c, d$ に関する条件式を導くのが初手である。

(2) では $f(\theta)g(\theta)$ の最大値を求める。2つの1次結合の積は展開すると $\cos^2\theta, \sin^2\theta, \sin\theta\cos\theta$ の項が現れるため、半角の公式および2倍角の公式を用いて $2\theta$ の三角関数に統一し、再度合成を行うのが基本方針となる。また、ベクトルと内積の図形的意味を利用する別解も非常に有効である。

解法1

(1)

$f(\theta)$ を三角関数の合成を用いて変形する。

$$f(\theta) = a\cos\theta + b\sin\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \alpha)$$

ただし、$\alpha$ は $\cos\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角である。

$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで変わるとき、$\sin(\theta + \alpha)$ は最大値 $1$ をとるため、$f(\theta)$ の最大値は $\sqrt{a^2+b^2}$ である。条件よりこれが $3$ に等しいので、両辺を2乗して次の式を得る。

$$a^2 + b^2 = 9$$

同様に、$g(\theta) = c\cos\theta + d\sin\theta = \sqrt{c^2+d^2}\sin(\theta + \beta)$ の最大値が $5$ であることから、次が成り立つ。

$$c^2 + d^2 = 25$$

また、$f(\theta) + g(\theta) = (a+c)\cos\theta + (b+d)\sin\theta$ の最大値が $6$ であることから、次が成り立つ。

$$(a+c)^2 + (b+d)^2 = 36$$

この式の左辺を展開し、上の2式を代入する。

$$a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bd + d^2 = 36$$

$$(a^2+b^2) + (c^2+d^2) + 2(ac+bd) = 36$$

$$9 + 25 + 2(ac+bd) = 36$$

$$34 + 2(ac+bd) = 36$$

$$2(ac+bd) = 2$$

よって、求める値は以下のようになる。

$$ac + bd = 1$$

(2)

$f(\theta)$ と $g(\theta)$ の積を展開する。

$$f(\theta)g(\theta) = (a\cos\theta + b\sin\theta)(c\cos\theta + d\sin\theta)$$

$$= ac\cos^2\theta + bd\sin^2\theta + (ad+bc)\sin\theta\cos\theta$$

半角の公式および2倍角の公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}, \sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}, \sin\theta\cos\theta = \frac{\sin2\theta}{2}$ を代入する。

$$f(\theta)g(\theta) = ac \cdot \frac{1+\cos2\theta}{2} + bd \cdot \frac{1-\cos2\theta}{2} + (ad+bc) \cdot \frac{\sin2\theta}{2}$$

$$= \frac{ac+bd}{2} + \frac{ad+bc}{2}\sin2\theta + \frac{ac-bd}{2}\cos2\theta$$

この式を $2\theta$ の関数として三角関数の合成を行うと、最大値は定数項に振幅を足したものになるため、次のように表される。

$$\frac{ac+bd}{2} + \sqrt{\left(\frac{ad+bc}{2}\right)^2 + \left(\frac{ac-bd}{2}\right)^2}$$

ここで、根号の中の分子を計算する。

$$(ad+bc)^2 + (ac-bd)^2 = a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2 + a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2$$

$$= a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2)$$

$$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$$

(1) で求めた $a^2+b^2 = 9$ および $c^2+d^2 = 25$ を代入する。

$$(ad+bc)^2 + (ac-bd)^2 = 9 \times 25 = 225$$

また、(1) より $ac+bd = 1$ であるから、最大値は次のように求まる。

$$\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = 8$$

解法2

(1)

平面ベクトル $\vec{p} = (a, b), \vec{q} = (c, d), \vec{u} = (\cos\theta, \sin\theta)$ を考える。 $\vec{u}$ は単位円上のベクトル（$|\vec{u}| = 1$）である。

関数の定義より、次のように内積を用いて表すことができる。

$$f(\theta) = \vec{p} \cdot \vec{u}$$

$$g(\theta) = \vec{q} \cdot \vec{u}$$

$$f(\theta) + g(\theta) = (\vec{p} + \vec{q}) \cdot \vec{u}$$

内積の定義より、例えば $\vec{p} \cdot \vec{u} = |\vec{p}||\vec{u}|\cos\gamma = |\vec{p}|\cos\gamma$ （$\gamma$ は $\vec{p}$ と $\vec{u}$ のなす角）となる。$\vec{u}$ が単位円上を一周するとき、$\cos\gamma$ の最大値は $1$ であるから、各関数の最大値はそれぞれのベクトルの大きさに等しい。

条件より、以下が成り立つ。

$$|\vec{p}| = 3, \quad |\vec{q}| = 5, \quad |\vec{p} + \vec{q}| = 6$$

$|\vec{p} + \vec{q}|^2 = 36$ の左辺を展開する。

$$|\vec{p}|^2 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{q}|^2 = 36$$

数値を代入する。

$$9 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} + 25 = 36$$

$$2\vec{p} \cdot \vec{q} = 2$$

$$\vec{p} \cdot \vec{q} = 1$$

成分で表すと $\vec{p} \cdot \vec{q} = ac + bd$ であるため、次を得る。

$$ac + bd = 1$$

(2)

$\vec{p}$ の偏角を $\alpha$、$\vec{q}$ の偏角を $\beta$ とすると、各ベクトルは極座標表示で次のように表せる。

$$\vec{p} = (3\cos\alpha, 3\sin\alpha)$$

$$\vec{q} = (5\cos\beta, 5\sin\beta)$$

よって、$f(\theta)$ および $g(\theta)$ は以下のように書ける。

$$f(\theta) = (3\cos\alpha)\cos\theta + (3\sin\alpha)\sin\theta = 3\cos(\theta - \alpha)$$

$$g(\theta) = (5\cos\beta)\cos\theta + (5\sin\beta)\sin\theta = 5\cos(\theta - \beta)$$

また、(1) の結果から内積について次が成り立つ。

$$\vec{p} \cdot \vec{q} = 15\cos\alpha\cos\beta + 15\sin\alpha\sin\beta = 15\cos(\alpha - \beta) = 1$$

すなわち、$\cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{15}$ である。

積 $f(\theta)g(\theta)$ を計算し、積和の公式を適用する。

$$f(\theta)g(\theta) = 15\cos(\theta - \alpha)\cos(\theta - \beta)$$

$$= \frac{15}{2} \left\{ \cos\left( (\theta - \alpha) + (\theta - \beta) \right) + \cos\left( (\theta - \alpha) - (\theta - \beta) \right) \right\}$$

$$= \frac{15}{2} \left\{ \cos(2\theta - \alpha - \beta) + \cos(\beta - \alpha) \right\}$$

ここで、$\cos(\beta - \alpha) = \cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{15}$ を代入する。

$$f(\theta)g(\theta) = \frac{15}{2}\cos(2\theta - \alpha - \beta) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{15}$$

$$= \frac{15}{2}\cos(2\theta - \alpha - \beta) + \frac{1}{2}$$

$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで変化するとき、$2\theta - \alpha - \beta$ は $4\pi$ の区間を動くため、$\cos(2\theta - \alpha - \beta)$ は最大値 $1$ をとる。

したがって、$f(\theta)g(\theta)$ の最大値は次のようになる。

$$\frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} = 8$$

解説

三角関数の合成の逆算とも言える問題である。「$\cos\theta, \sin\theta$ の1次結合の最大値は、係数の2乗和の平方根になる」という基本事項を正確に理解していれば、(1) は素直な式変形で解くことができる。

(2) は三角関数の積を扱う。解法1のように展開してから $2\theta$ の関数に直し、再度合成を行うのが王道である。途中で現れる $(ad+bc)^2 + (ac-bd)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ は「ラグランジュの恒等式」として知られる式変形であり、これを淀みなく行えるかが計算の要となる。

解法2で示したように、本問の設定を平面ベクトルと正射影を用いて解釈すると、計算が劇的に簡略化される。「$a\cos\theta + b\sin\theta$ はベクトル $(a, b)$ と $(\cos\theta, \sin\theta)$ の内積である」という視点は、数学において様々な場面で威力を発揮するため、ぜひ身につけておきたい発想である。