東北大学 1962年 理系 第5問 解説

方針・初手

定積分で表された関数 $f(x)$ の増減と極値を調べるために、まずは微積分学の基本定理 $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} g(t)dt = g(x)$ を用いて導関数 $f'(x)$ を求めます。その後、$f'(x) = 0$ となる $x$ を探し、増減表を作成します。極値を求めるためには $f(x)$ の具体的な式が必要になるため、三角関数の公式（2倍角の公式、積和の公式など）を利用して積分を計算します。

解法1

関数 $f(x)$ を $x$ で微分すると、次のようになります。

$$ f'(x) = \cos x - \sin x \sin 2x $$

2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いて変形します。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \cos x - \sin x (2 \sin x \cos x) \\ &= \cos x - 2 \sin^2 x \cos x \\ &= \cos x (1 - 2 \sin^2 x) \end{aligned} $$

さらに、2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ より、次のように表せます。

$$ f'(x) = \cos x \cos 2x $$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲で $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$\cos x = 0$ のとき、

$$ x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} $$

$\cos 2x = 0$ のとき、$0 \leqq 2x \leqq 4\pi$ であるから、

$$ 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} $$

$$ x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} $$

次に、$f(x)$ の具体的な式を求めます。被積分関数について、積和の公式 $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\}$ を用います。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \int_{0}^{x} \cos t \cos 2t dt \\ &= \int_{0}^{x} \frac{1}{2} (\cos 3t + \cos t) dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} \sin 3t + \sin t \right]_{0}^{x} \\ &= \frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{2} \sin x \end{aligned} $$

各極値となる点での $f(x)$ の値を計算します。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{6} \sin \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3} $$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{6} \sin \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{6}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{3} $$

$x = \frac{3\pi}{4}$ のとき、

$$ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{6} \sin \frac{9\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3} $$

ここで、$f(2\pi - x)$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} f(2\pi - x) &= \frac{1}{6} \sin 3(2\pi - x) + \frac{1}{2} \sin (2\pi - x) \\ &= \frac{1}{6} \sin (6\pi - 3x) + \frac{1}{2} \sin (2\pi - x) \\ &= -\frac{1}{6} \sin 3x - \frac{1}{2} \sin x \\ &= -f(x) \end{aligned} $$

となるため、$y = f(x)$ のグラフは点 $(\pi, 0)$ に関して対称です。この対称性を利用すると、残りの極値は次のように計算できます。

$$ f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} $$

$$ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{3} $$

$$ f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} $$

また、両端および対称の中心の値は $f(0) = 0$、$f(\pi) = 0$、$f(2\pi) = 0$ となります。

以上より、増減表は次のようになります。

表より増減が分かり、グラフは原点 $(0,0)$ から始まり、上記の極値を通りながら点 $(\pi, 0)$ で変曲し、点 $(2\pi, 0)$ で終わる、点 $(\pi, 0)$ を中心とした点対称な滑らかな曲線となります。

解説

定積分で定義された関数を扱う標準的な問題です。被積分関数の変形において、積分実行時には「積和の公式」が有効であり、微分後の符号判定においては「因数分解された形（積の形）」が有効であるという、三角関数の式変形の基本が問われています。

また、増減表が長くなる場合は、途中で関数の対称性（今回であれば $x = \pi$ についての点対称性）に気づくことで、後半の計算量や符号ミスのリスクを大幅に減らすことができます。極大値として負の値（$-\frac{1}{3}$）が、極小値として正の値（$\frac{1}{3}$）が現れる点に注意してグラフの概形を捉える必要があります。

答え

増減と極値:

• 増加区間: $0 < x < \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2},\ \frac{7\pi}{4} < x < 2\pi$
• 減少区間: $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4},\ \frac{3\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{4}$
• 極大値: $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ のとき $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 、 $x = \frac{3\pi}{2}$ のとき $-\frac{1}{3}$
• 極小値: $x = \frac{\pi}{2}$ のとき $\frac{1}{3}$ 、 $x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ のとき $-\frac{\sqrt{2}}{3}$

グラフの概形:

上記の増減表に従い、$x=0, \pi, 2\pi$ で $x$ 軸と交わり、点 $(\pi, 0)$ に関して点対称となる曲線。（※実際の解答用紙には、増減表の極値をプロットした滑らかな曲線を描画します）