九州大学 1963年 文系 第3問 解説

方針・初手

問題の図形において、$O, B, A, C$ の4点がどのような位置関係にあるかを把握する。$\angle BOC = \frac{\pi}{2}$ および $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ であることから、円周角の定理の逆により、これら4点が線分 $BC$ を直径とする同一円周上にあることを見抜くのが最大のショートカットとなる。

角度 $\theta$ や定長 $l$ が与えられているため、ベクトルや三角関数を用いて点 $A$ の座標を直接計算する方針も有効である。本解説では、幾何的性質を用いる解法と、座標を用いて計算する解法の2つを示す。

解法1

(1)

点 $B$ は $y$ 軸上、点 $C$ は $x$ 軸上にあるため $\angle BOC = \frac{\pi}{2}$ である。また、$\triangle ABC$ は直角二等辺三角形であるから $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ である。これより、4点 $O, C, A, B$ は線分 $BC$ を直径とする円周上にある。

弦 $AB$ と弦 $AC$ は長さが等しい直角二等辺三角形の辺であるから、それらに対する円周角も等しい。点 $A$ は第1象限の点であるため、

$$\angle AOB = \angle AOC = \frac{\pi}{4}$$

となる。したがって、点 $A$ は半直線 $y = x$ $(x > 0)$ 上にある。

次に、$\triangle OAC$ について考える。直線 $CA$ と $x$ 軸の正の向きがなす角が $\theta$ であることから、$\triangle OAC$ の内角としての $\angle OCA$ は $\pi - \theta$ となる。

また、円周角の定理より $\angle AOC = \frac{\pi}{4}$ であるから、残りの内角 $\angle OAC$ は

$$\angle OAC = \pi - \left( \frac{\pi}{4} + \pi - \theta \right) = \theta - \frac{\pi}{4}$$

である。$\triangle OAC$ において正弦定理を用いると、

$$\frac{OA}{\sin(\pi - \theta)} = \frac{AC}{\sin \frac{\pi}{4}}$$

$AC = \frac{l}{\sqrt{2}}$、$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ であるから、これを解くと

$$OA = \sin\theta \cdot \frac{\frac{l}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = l\sin\theta$$

となる。点 $A$ は半直線 $y = x$ 上にあり、原点からの距離が $l\sin\theta$ であるから、その座標 $(x, y)$ は、

$$\begin{aligned} x &= OA \cos\frac{\pi}{4} = \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta \\ y &= OA \sin\frac{\pi}{4} = \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta \end{aligned}$$

と求まる。

(2)

点 $B, C$ がそれぞれ $y$ 軸、$x$ 軸の正の部分を動くとき、$\angle OCB = \phi$ とおくと $0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ である。

弦 $OC$ に対する円周角より $\angle OAC = \angle OBC$ であり、$\triangle OBC$ において $\angle OBC = \frac{\pi}{2} - \phi$ である。(1) で求めた $\angle OAC = \theta - \frac{\pi}{4}$ と比較すると、

$$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \phi \implies \theta = \frac{3\pi}{4} - \phi$$

$0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\theta$ の取り得る値の範囲は

$$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$$

となる。点 $A$ は直線 $y = x$ 上を動き、その $x$ 座標は $x = \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta$ である。上記の $\theta$ の範囲において、$\sin\theta$ の値の範囲は $\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin\theta \le 1$ であるから、

$$\frac{l}{2} < x \le \frac{\sqrt{2}}{2}l$$

点 $A$ の動く範囲は、直線 $y = x$ 上の $\frac{l}{2} < x \le \frac{\sqrt{2}}{2}l$ の部分である。

解法2

(1)

点 $C$ の座標を $(c, 0)$ ($c > 0$) とおく。

直線 $CA$ と $x$ 軸の正の向きがなす角が $\theta$ であり、$\triangle ABC$ は $AB=AC, \angle A = \frac{\pi}{2}$ の直角二等辺三角形であるから $CA = \frac{l}{\sqrt{2}}$ である。よって、点 $A$ の座標は $\left( c + \frac{l}{\sqrt{2}}\cos\theta, \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta \right)$ と表せる。

これにより、頂点 $A$ の $y$ 座標は $y = \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta$ と定まる。

次に、ベクトルを用いて $c$ を求める。$\triangle ABC$ の位置関係から、ベクトル $\vec{CB}$ はベクトル $\vec{CA}$ を点 $C$ を中心に時計回りに $\frac{\pi}{4}$ 回転し、長さを $\sqrt{2}$ 倍したものである。すなわち、$\vec{CB}$ の偏角は $\theta + \frac{\pi}{4}$ となる。

$CB = l$ であるから、

$$\vec{CB} = \left( l\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right), l\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \right)$$

点 $B$ の位置ベクトルは $\vec{OB} = \vec{OC} + \vec{CB}$ より、

$$B\left( c + l\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right), l\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \right)$$

点 $B$ は $y$ 軸上の点であるから、$x$ 座標は $0$ である。

$$c + l\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies c = -l\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

これを点 $A$ の $x$ 座標の式に代入し、加法定理を用いて整理する。

$$\begin{aligned} x &= -l\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{l}{\sqrt{2}}\cos\theta \\ &= -l \left( \cos\theta\cos\frac{\pi}{4} - \sin\theta\sin\frac{\pi}{4} \right) + \frac{l}{\sqrt{2}}\cos\theta \\ &= -l \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta \right) + \frac{l}{\sqrt{2}}\cos\theta \\ &= \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta \end{aligned}$$

以上より、頂点 $A$ の座標は $(x, y) = \left( \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta, \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta \right)$ である。

(2)

点 $B, C$ がそれぞれ正の部分を動くことから、$c > 0$ かつ点 $B$ の $y$ 座標が正である。

$$\begin{aligned} -l\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) &> 0 \implies \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) < 0 \\ l\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) &> 0 \implies \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > 0 \end{aligned}$$

これを同時に満たす角 $\theta + \frac{\pi}{4}$ の範囲は、第2象限すなわち $\frac{\pi}{2} < \theta + \frac{\pi}{4} < \pi$ である。よって、$\theta$ の範囲は

$$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$$

となる。

このとき、点 $A$ の座標は $x = y = \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta$ であるから、直線 $y = x$ 上を動く。$\theta$ の範囲より $\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin\theta \le 1$ となるので、$x$ の範囲は

$$\frac{l}{2} < x \le \frac{\sqrt{2}}{2}l$$

動く範囲は直線 $y = x$ 上の線分となる。

解説

本問は、座標平面上に配置された図形の軌跡や座標を求める問題である。

直角という条件が2つ（座標軸の交点 $O$ と直角二等辺三角形の頂点 $A$）存在することから、円周角の定理の逆を用いて4点が同一円周上にあることを見抜けると、幾何的に見通しよく解くことができる（解法1）。

一方で、図形の条件をそのままベクトルの偏角や回転として数式化し、座標計算によって進めることも十分可能である（解法2）。この場合、三角関数の加法定理を正確に運用する力が問われる。

(2) における図示では、開区間と閉区間の違い（端点が白丸か黒丸か）に注意して作図する必要がある。

答え

(1)

$$(x, y) = \left( \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta, \frac{l}{\sqrt{2}}\sin\theta \right)$$

(2)

点 $A$ の動く範囲は、直線 $y = x$ 上の

$$\frac{l}{2} < x \le \frac{\sqrt{2}}{2}l$$

を満たす部分である。これを図示すると、第1象限における直線 $y=x$ 上の線分となる（端点 $(l/2, l/2)$ は含まず、端点 $(\sqrt{2}l/2, \sqrt{2}l/2)$ は含む）。