九州大学 1962年 理系 第4問 解説

方針・初手

2つの曲線の交点の $x$ 座標 $\alpha$ は、方程式 $a \cos x = b \sin x$ を満たします。この関係式から $\tan \alpha$ の値を求め、三角関数の相互関係を用いて $\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ の値を $a, b$ で表します。 面積 $S_1, S_2, S_3$ は、それぞれ適切な区間における定積分として立式します。特に $S_2$ と $S_3$ の和が、曲線①と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる図形の面積に等しいことに気付くと、計算を簡略化できます。

解法1

(1)

$\alpha$ は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲における曲線①と曲線②の交点の $x$ 座標であるから、

$$a \cos \alpha = b \sin \alpha$$

が成り立つ。図より $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ である。 $a > 0, b > 0$ より $\cos \alpha \neq 0$ であるから、両辺を $b \cos \alpha$ で割ると

$$\tan \alpha = \frac{a}{b}$$

$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ より

$$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{b^2}$$

したがって

$$\cos^2 \alpha = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \alpha > 0$ であるから

$$\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

また、$\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha$ より

$$\sin \alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

次に、$S_3$ を求める。図より、$0 \leqq x \leqq \alpha$ の区間において、曲線①は曲線②の上側にあるから

$$\begin{aligned} S_3 &= \int_{0}^{\alpha} (a \cos x - b \sin x) dx \\ &= \left[ a \sin x + b \cos x \right]_{0}^{\alpha} \\ &= (a \sin \alpha + b \cos \alpha) - (a \sin 0 + b \cos 0) \\ &= a \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + b \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} - b \\ &= \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} - b \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} - b \end{aligned}$$

(2)

図より、面積の和 $S_2 + S_3$ は、曲線①と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分の面積に等しいので

$$\begin{aligned} S_2 + S_3 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a \cos x dx \\ &= \left[ a \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= a \end{aligned}$$

したがって

$$S_2 = a - S_3 = a - \left( \sqrt{a^2 + b^2} - b \right) = a + b - \sqrt{a^2 + b^2}$$

$S_2 = S_3$ のとき

$$a + b - \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} - b$$

$$a + 2b = 2\sqrt{a^2 + b^2}$$

$a, b$ は正の定数であるから、両辺とも正である。両辺を2乗して整理すると

$$(a + 2b)^2 = 4(a^2 + b^2)$$

$$a^2 + 4ab + 4b^2 = 4a^2 + 4b^2$$

$$3a^2 - 4ab = 0$$

$$a(3a - 4b) = 0$$

$a > 0$ より $3a = 4b$ となるから

$$a : b = 4 : 3$$

次に $S_1$ を求める。図より、$S_1$ は $\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$ の範囲で、曲線②と $x$ 軸で囲まれた部分の面積である。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} b \sin x dx \\ &= \left[ -b \cos x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\ &= -b(-1 - 0) \\ &= b \end{aligned}$$

$a : b = 4 : 3$ すなわち $a = \frac{4}{3}b$ のとき、$S_2$ を $b$ で表す。 $S_2 = S_3$ であるから、$S_3$ を計算すると

$$\begin{aligned} S_2 &= S_3 \\ &= \sqrt{\left(\frac{4}{3}b\right)^2 + b^2} - b \\ &= \sqrt{\frac{25}{9}b^2} - b \end{aligned}$$

$b > 0$ より

$$S_2 = \frac{5}{3}b - b = \frac{2}{3}b$$

したがって、$S_1 : S_2$ は

$$S_1 : S_2 = b : \frac{2}{3}b = 1 : \frac{2}{3} = 3 : 2$$

解説

(1) では、$\tan \alpha$ の値から直角を挟む2辺の長さが $b, a$ である直角三角形をイメージすると、斜辺の長さが $\sqrt{a^2 + b^2}$ となり、$\sin \alpha, \cos \alpha$ の値をすばやく確認することができます。 (2) において、$S_2$ の面積を2つの定積分に分けて直接計算（$\int_0^\alpha b\sin x dx + \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} a\cos x dx$）することも可能ですが、パズル的に全体の面積から引き算を行う方が、積分計算の手間と計算ミスのリスクを減らすことができます。

答え

(1)

$$\sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad S_3 = \sqrt{a^2 + b^2} - b$$

(2)

$$a : b = 4 : 3, \quad S_1 : S_2 = 3 : 2$$