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東京工業大学 1963年理系第4問解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ には $\tan x$ と $\sec^2 x$ が含まれています。微分を計算して導関数の符号変化を調べるのが基本方針です。

そのまま微分して $\sec^2 x$ を括り出すか、あるいは関係式 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ を用いて $\tan x$ だけの式に書き換え、$\tan x = t$ と置換してから考えるかの2通りのアプローチが考えられます。どちらの方針でも導関数は容易に因数分解できます。

解法1

関数 $f(x)$ の定義域は $\cos x \neq 0$ より、$n$ を整数として $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ である。

また、$f(x)$ に含まれる $\tan x$ と $\sec^2 x$ はともに周期 $\pi$ の周期関数であるから、$f(x)$ も周期 $\pi$ の周期関数である。したがって、区間 $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ における増減を調べれば十分である。

$f(x)$ を $x$ について微分すると、合成関数の微分法により以下のようになる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2 \cdot 3\tan^2 x \cdot \sec^2 x - 3(\sqrt{3}+1) \cdot 2\sec x \cdot (\sec x \tan x) + 6\sqrt{3}\sec^2 x \\ &= 6\tan^2 x \sec^2 x - 6(\sqrt{3}+1)\sec^2 x \tan x + 6\sqrt{3}\sec^2 x \\ &= 6\sec^2 x \left( \tan^2 x - (\sqrt{3}+1)\tan x + \sqrt{3} \right) \\ &= 6\sec^2 x (\tan x - 1)(\tan x - \sqrt{3}) \end{aligned} $$

区間 $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ において $\sec^2 x > 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $(\tan x - 1)(\tan x - \sqrt{3})$ の符号と一致する。

$f'(x) = 0$ となるのは $\tan x = 1$ または $\tan x = \sqrt{3}$ のときであり、区間 $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ における $x$ の値はそれぞれ $x = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ である。

これをもとに、区間 $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ における $f(x)$ の増減表を書くと次のようになる。

$x$	$\left(-\frac{\pi}{2}\right)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で極大、$x = \frac{\pi}{3}$ で極小となる。それぞれの値を計算する。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\tan x = 1$, $\sec^2 x = 2$ より

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 2 \cdot 1^3 - 3(\sqrt{3}+1) \cdot 2 + 6\sqrt{3} \cdot 1 - 1 \\ &= 2 - 6\sqrt{3} - 6 + 6\sqrt{3} - 1 \\ &= -5 \end{aligned} $$

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\tan x = \sqrt{3}$, $\sec^2 x = 4$ より

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= 2 \cdot (\sqrt{3})^3 - 3(\sqrt{3}+1) \cdot 4 + 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 \\ &= 6\sqrt{3} - 12\sqrt{3} - 12 + 18 - 1 \\ &= 5 - 6\sqrt{3} \end{aligned} $$

周期が $\pi$ であることを考慮し、一般角で表すと、整数 $n$ を用いて次のように極値をとる。

解法2

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ の関係を用いて、$f(x)$ を $\tan x$ のみで表す。

$$ \begin{aligned} f(x) &= 2\tan^3 x - 3(\sqrt{3}+1)(1 + \tan^2 x) + 6\sqrt{3}\tan x - 1 \\ &= 2\tan^3 x - 3(\sqrt{3}+1)\tan^2 x + 6\sqrt{3}\tan x - 3\sqrt{3} - 4 \end{aligned} $$

ここで、$t = \tan x$ とおくと、関数 $f(x)$ の定義域において $t$ はすべての実数値をとる。$f(x)$ を $t$ の関数とみて $g(t)$ とおくと、

$$ g(t) = 2t^3 - 3(\sqrt{3}+1)t^2 + 6\sqrt{3}t - 3\sqrt{3} - 4 $$

$g(t)$ を $t$ について微分する。

$$ \begin{aligned} g'(t) &= 6t^2 - 6(\sqrt{3}+1)t + 6\sqrt{3} \\ &= 6 \left( t^2 - (\sqrt{3}+1)t + \sqrt{3} \right) \\ &= 6(t - 1)(t - \sqrt{3}) \end{aligned} $$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 1, \sqrt{3}$ のときである。$t$ の増減表は次のようになる。

$t$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\sqrt{3}$	$\cdots$
$g'(t)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(t)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

極大値をとる $t$ の値は $t = 1$ であり、その値は

$$ \begin{aligned} g(1) &= 2 \cdot 1^3 - 3(\sqrt{3}+1) \cdot 1^2 + 6\sqrt{3} \cdot 1 - 3\sqrt{3} - 4 \\ &= 2 - 3\sqrt{3} - 3 + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 4 \\ &= -5 \end{aligned} $$

極小値をとる $t$ の値は $t = \sqrt{3}$ であり、その値は

$$ \begin{aligned} g(\sqrt{3}) &= 2 \cdot (\sqrt{3})^3 - 3(\sqrt{3}+1) \cdot (\sqrt{3})^2 + 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 4 \\ &= 6\sqrt{3} - 9(\sqrt{3}+1) + 18 - 3\sqrt{3} - 4 \\ &= 6\sqrt{3} - 9\sqrt{3} - 9 + 18 - 3\sqrt{3} - 4 \\ &= 5 - 6\sqrt{3} \end{aligned} $$

$x$ の各定義区間 $\left( -\frac{\pi}{2} + n\pi, \frac{\pi}{2} + n\pi \right)$ （$n$ は整数）において、$t = \tan x$ は単調に増加する関数であるため、$x$ の増減と $t$ の増減は完全に一致し、極値をとる点も対応する。

$t = 1$ のとき $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ $t = \sqrt{3}$ のとき $x = \frac{\pi}{3} + n\pi$

よって、求める極値とそれを与える $x$ の値が得られる。