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九州大学 1964年理系第5問解説

方針・初手

$C_1$ と $C_2$ が直線 $y=x$ に関して対称であるという条件から、共通接線 $AB$ は直線 $y=x$ と直交し、その傾きが $-1$ となることを見抜くのが鍵です。 (1) は、曲線 $C_1$ 上で傾きが $-1$ となる接点を求めます。 (2) は、図形の対称性を利用し、直線 $y=x$ で領域を2等分して片側の面積を求めるか、あるいは $\triangle OAB$ の面積から余分な部分を引く図形的なアプローチをとると計算がスムーズです。

解法1

(1)

曲線 $C_1$ は $y = \sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$ である。これを $x$ で微分すると、

$$y' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$$

曲線 $C_1$ と $C_2$ は直線 $y=x$ に関して対称であり、共通接線 $AB$ の接点 $A, B$ も直線 $y=x$ に関して対称である。したがって、共通接線 $AB$ は直線 $y=x$ と直交するため、その傾きは $-1$ である。 $C_1$ 上の接点 $A$ の $x$ 座標は、$\sin 2x = -1$ を満たす。 $0 \leqq x \leqq \pi$ より $0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ であるから、

$$2x = \frac{3}{2}\pi \iff x = \frac{3}{4}\pi$$

このとき、接点の $y$ 座標は、

$$y = \sin^2\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

よって、接点 $A$ の座標は $\left(\frac{3}{4}\pi, \frac{1}{2}\right)$ となる。接線 $AB$ は点 $A$ を通り傾きが $-1$ の直線であるから、その方程式は、

$$y - \frac{1}{2} = -1 \left( x - \frac{3}{4}\pi \right)$$

$$y = -x + \frac{3}{4}\pi + \frac{1}{2}$$

(2)

求める面積を $S$ とする。接線 $AB$ と直線 $y=x$ の交点を $M$ とおく。

$$-x + \frac{3}{4}\pi + \frac{1}{2} = x$$

これを解くと $x = \frac{3}{8}\pi + \frac{1}{4}$ となり、交点 $M$ の座標は $\left(\frac{3}{8}\pi + \frac{1}{4}, \frac{3}{8}\pi + \frac{1}{4}\right)$ である。

領域は直線 $y=x$ に関して対称であるため、直線 $y=x$ の下側（$C_1$ 側）にある面積を計算して2倍する。 $x > 0$ において $x > \sin^2 x$ であり、また上に凸な区間における接線は曲線の上側にあるため、領域の上端は $0 \leqq x \leqq \frac{3}{8}\pi + \frac{1}{4}$ で直線 $y=x$、$\frac{3}{8}\pi + \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}\pi$ で接線 $AB$ であり、下端は $y=\sin^2 x$ である。

$$\frac{S}{2} = \int_{0}^{\frac{3}{8}\pi+\frac{1}{4}} \left( x - \sin^2 x \right) dx + \int_{\frac{3}{8}\pi+\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}\pi} \left( -x + \frac{3}{4}\pi + \frac{1}{2} - \sin^2 x \right) dx$$

この定積分を次のように分ける。

$$\frac{S}{2} = \int_{0}^{\frac{3}{8}\pi+\frac{1}{4}} x \,dx + \int_{\frac{3}{8}\pi+\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}\pi} \left( -x + \frac{3}{4}\pi + \frac{1}{2} \right) dx - \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \sin^2 x \,dx$$

それぞれの積分を計算する。

$$\int_{0}^{\frac{3}{8}\pi+\frac{1}{4}} x \,dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\frac{3}{8}\pi+\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi + 2}{8} \right)^2 = \frac{9\pi^2 + 12\pi + 4}{128}$$

$$\int_{\frac{3}{8}\pi+\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}\pi} \left( -x + \frac{3\pi + 2}{4} \right) dx = \left[ -\frac{1}{2} \left( x - \frac{3\pi + 2}{4} \right)^2 \right]_{\frac{3\pi + 2}{8}}^{\frac{3\pi}{4}}$$

$$= -\frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{3\pi + 2}{4} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi + 2}{8} - \frac{6\pi + 4}{8} \right)^2$$

$$= -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( -\frac{3\pi + 2}{8} \right)^2 = -\frac{1}{8} + \frac{9\pi^2 + 12\pi + 4}{128} = \frac{9\pi^2 + 12\pi - 12}{128}$$

$$\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \sin^2 x \,dx = \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{3}{4}\pi} = \frac{3}{8}\pi - \frac{-1}{4} = \frac{3\pi + 2}{8} = \frac{24\pi + 16}{64}$$

これらを代入して整理する。

$$\frac{S}{2} = \left( \frac{9\pi^2 + 12\pi + 4}{128} + \frac{9\pi^2 + 12\pi - 12}{128} \right) - \frac{24\pi + 16}{64}$$

$$= \frac{18\pi^2 + 24\pi - 8}{128} - \frac{24\pi + 16}{64} = \frac{9\pi^2 + 12\pi - 4}{64} - \frac{24\pi + 16}{64} = \frac{9\pi^2 - 12\pi - 20}{64}$$

よって、求める面積 $S$ は、

$$S = 2 \times \frac{9\pi^2 - 12\pi - 20}{64} = \frac{9\pi^2 - 12\pi - 20}{32}$$

解法2

(2) の別解

原点を $O$ とし、点 $A, B$ と結んでできる三角形 $OAB$ の面積を利用して計算する。点 $A$ の座標は $\left(\frac{3}{4}\pi, \frac{1}{2}\right)$ であり、点 $B$ は直線 $y=x$ に関して $A$ と対称であるから $B\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\pi\right)$ である。三角形 $OAB$ の面積は、

$$\triangle OAB = \frac{1}{2} \left| \frac{3}{4}\pi \cdot \frac{3}{4}\pi - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} \left( \frac{9}{16}\pi^2 - \frac{1}{4} \right) = \frac{9\pi^2 - 4}{32}$$

求める領域は、三角形 $OAB$ から「線分 $OA$ と曲線 $C_1$ で囲まれた部分」と「線分 $OB$ と曲線 $C_2$ で囲まれた部分」を除いたものである。対称性よりこれら2つの部分の面積は等しい。線分 $OA$ の方程式は $y = \frac{2}{3\pi} x$ である。線分 $OA$ と曲線 $C_1$ で囲まれた部分の面積を $S_3$ とする。図形的に $C_1$ は線分 $OA$ に対して外側（上側）に位置するため、

$$S_3 = \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \left( \sin^2 x - \frac{2}{3\pi} x \right) dx$$

これを計算する。

$$S_3 = \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx - \left[ \frac{1}{3\pi} x^2 \right]_{0}^{\frac{3}{4}\pi}$$

$$= \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{3}{4}\pi} - \frac{1}{3\pi} \left( \frac{3}{4}\pi \right)^2$$

$$= \left( \frac{3}{8}\pi + \frac{1}{4} \right) - \frac{3}{16}\pi = \frac{3}{16}\pi + \frac{1}{4} = \frac{3\pi + 4}{16}$$

求める面積 $S$ は $\triangle OAB$ から $2S_3$ を引いたものであるから、

$$S = \triangle OAB - 2S_3 = \frac{9\pi^2 - 4}{32} - 2 \left( \frac{3\pi + 4}{16} \right)$$

$$= \frac{9\pi^2 - 4}{32} - \frac{12\pi + 16}{32} = \frac{9\pi^2 - 12\pi - 20}{32}$$

解説

逆関数のグラフと面積、対称性をテーマにした典型的な良問です。 (1) では「直線 $y=x$ に関して対称な2つの曲線の共通接線は、$y=x$ と直交する」という性質を利用することで、計算量を大きく減らすことができます。傾きが $-1$ であることが分かれば、微分の計算だけで容易に接点が求まります。 (2) では、図形全体の面積を直接積分で求めようとすると境界が切り替わるため式が煩雑になります。解法1のように直線 $y=x$ で分割して2倍するのが定石です。さらに見通しを良くしたのが解法2です。接点と原点を結ぶ三角形を基準にすることで、複雑な直線の積分を簡単な三角形の面積公式に置き換えることができます。領域が三角形の「内側」に食い込んでいる図形的な位置関係を正しく把握できれば、非常に鮮やかに解くことが可能です。