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九州大学 1989年理系第3問解説

方針・初手

(1) 与えられた2曲線の式を等号で結び、半角の公式を用いて次数を下げる。さらに和積の公式を利用して三角方程式を解き、最小の正の根を求める。 (2) (1)の結果を利用して積分区間の両端 $p, q$ を求める。区間内において4曲線のうちどれが上側の境界・下側の境界となるかを調べるため、曲線の交点を求めて大小関係を整理し、面積の定積分を立式する。

解法1

(1) 2曲線の交点の $x$ 座標は、次の方程式を満たす。

$$\cos^2 \frac{x}{a} = \sin^2 \frac{x}{b}$$

半角の公式より、

$$\frac{1 + \cos \frac{2x}{a}}{2} = \frac{1 - \cos \frac{2x}{b}}{2}$$

整理すると、

$$\cos \frac{2x}{a} + \cos \frac{2x}{b} = 0$$

和積の公式を利用して因数分解する。

$$2 \cos \left( \frac{a+b}{ab} x \right) \cos \left( \frac{b-a}{ab} x \right) = 0$$

したがって、

$$\cos \left( \frac{a+b}{ab} x \right) = 0 \quad \text{または} \quad \cos \left( \frac{b-a}{ab} x \right) = 0$$

$x > 0$ におけるそれぞれの最小の正の解を求める。

(i) $\cos \left( \frac{a+b}{ab} x \right) = 0$ のとき $a>0, b>0$ より $\frac{a+b}{ab} x > 0$ であるから、最小の正の角は $\frac{\pi}{2}$ となる。

$$\frac{a+b}{ab} x = \frac{\pi}{2} \iff x = \frac{ab\pi}{2(a+b)}$$

(ii) $\cos \left( \frac{b-a}{ab} x \right) = 0$ のとき $a = b$ のときはつねに $\cos 0 = 1 \neq 0$ となり解を持たない。 $a \neq b$ のとき、最小の正の角は $\frac{\pi}{2}$ となるため、

$$\frac{|b-a|}{ab} x = \frac{\pi}{2} \iff x = \frac{ab\pi}{2|a-b|}$$

これらを比較する。$a,b>0$ より $a+b > |a-b|$ であり、分子が等しく分母が大きい方が値は小さくなるため、

$$\frac{ab\pi}{2(a+b)} < \frac{ab\pi}{2|a-b|}$$

よって、最小の正の値は $\frac{ab\pi}{2(a+b)}$ である。

(2) $p$ は $C_1$ と $C_2$ の交点なので、(1)において $b=a$ としたときの解である。

$$p = \frac{a^2\pi}{2(2a)} = \frac{a\pi}{4}$$

$q$ は $C_3$ と $C_4$ の交点なので、(1)において $a$ および $b$ を $a+1$ としたときの解である。

$$q = \frac{(a+1)^2\pi}{2(2a+2)} = \frac{(a+1)\pi}{4}$$

次に、$p \leqq x \leqq q$ の範囲で4曲線の上下関係を調べるため、$C_3$ と $C_2$ の交点を求める。 $\cos^2 \frac{x}{a+1} = \sin^2 \frac{x}{a}$ を満たす最小の正の解 $r$ は、(1)において $a$ を $a+1$、$b$ を $a$ とすることで得られる。

$$r = \frac{a(a+1)\pi}{2(2a+1)}$$

$p, r, q$ の大小関係を比較する。

$$r - p = \frac{a(a+1)\pi}{2(2a+1)} - \frac{a\pi}{4} = \frac{a\pi \{ 2(a+1) - (2a+1) \}}{4(2a+1)} = \frac{a\pi}{4(2a+1)} > 0$$

$$q - r = \frac{(a+1)\pi}{4} - \frac{a(a+1)\pi}{2(2a+1)} = \frac{(a+1)\pi \{ (2a+1) - 2a \}}{4(2a+1)} = \frac{(a+1)\pi}{4(2a+1)} > 0$$

よって、$p < r < q$ である。同様に、$C_1$ と $C_4$ の交点の方程式 $\cos^2 \frac{x}{a} = \sin^2 \frac{x}{a+1}$ も同じ $x=r$ で交わる。

$p \leqq x \leqq q$ における各曲線の上下関係を調べる。 $x=p$ のとき、$C_1(p) = C_2(p) = \frac{1}{2}$ であり、$0 < \frac{a\pi}{4(a+1)} < \frac{\pi}{4}$ より

$$C_3(p) = \cos^2 \frac{a\pi}{4(a+1)} > \frac{1}{2} > \sin^2 \frac{a\pi}{4(a+1)} = C_4(p)$$

となる。よって、区間 $p \leqq x \leqq r$ では $C_3$ が最も上に、 $C_4$ が最も下に位置する。一方、$x=r$ で大小関係が入れ替わるため、区間 $r \leqq x \leqq q$ では $C_2$ が最も上に、$C_1$ が最も下に位置する。したがって、求める面積 $S$ は次のように立式できる。

$$S = \int_p^r (C_3 - C_4) dx + \int_r^q (C_2 - C_1) dx$$

ここで、

$$C_3 - C_4 = \cos^2 \frac{x}{a+1} - \sin^2 \frac{x}{a+1} = \cos \frac{2x}{a+1}$$

$$C_2 - C_1 = \sin^2 \frac{x}{a} - \cos^2 \frac{x}{a} = -\cos \frac{2x}{a}$$

であるから、

$$\begin{aligned} S &= \int_p^r \cos \frac{2x}{a+1} dx - \int_r^q \cos \frac{2x}{a} dx \\ &= \left[ \frac{a+1}{2} \sin \frac{2x}{a+1} \right]_p^r - \left[ \frac{a}{2} \sin \frac{2x}{a} \right]_r^q \\ &= \frac{a+1}{2} \left( \sin \frac{2r}{a+1} - \sin \frac{2p}{a+1} \right) - \frac{a}{2} \left( \sin \frac{2q}{a} - \sin \frac{2r}{a} \right) \end{aligned}$$

代入する角度をそれぞれ計算する。

$$\frac{2p}{a+1} = \frac{a\pi}{2(a+1)}, \quad \frac{2q}{a} = \frac{(a+1)\pi}{2a}$$

$$\frac{2r}{a+1} = \frac{a\pi}{2a+1}, \quad \frac{2r}{a} = \frac{(a+1)\pi}{2a+1}$$

ここで、$\sin \frac{2r}{a}$ は

$$\sin \frac{2r}{a} = \sin \frac{(a+1)\pi}{2a+1} = \sin \left( \pi - \frac{a\pi}{2a+1} \right) = \sin \frac{a\pi}{2a+1}$$

と変形できることに注意して代入すると、

$$\begin{aligned} S &= \frac{a+1}{2} \left( \sin \frac{a\pi}{2a+1} - \sin \frac{a\pi}{2(a+1)} \right) - \frac{a}{2} \left( \sin \frac{(a+1)\pi}{2a} - \sin \frac{a\pi}{2a+1} \right) \\ &= \frac{2a+1}{2} \sin \frac{a\pi}{2a+1} - \frac{a+1}{2} \sin \frac{a\pi}{2(a+1)} - \frac{a}{2} \sin \frac{(a+1)\pi}{2a} \end{aligned}$$

さらに、余角の公式を用いて整理する。

$$\sin \frac{a\pi}{2(a+1)} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2(a+1)} \right) = \cos \frac{\pi}{2(a+1)}$$

$$\sin \frac{(a+1)\pi}{2a} = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2a} \right) = \cos \frac{\pi}{2a}$$

以上より、求める面積が定まる。

解説

(1)の三角方程式は、2次式を半角の公式で1次に下げてから和積の公式を利用して解の形を明示するのが基本である。(2)においては、囲まれる図形の上下関係が途中で入れ替わることに気づけるかが鍵となる。積分計算自体は倍角の公式の逆演算であり難しくないが、境界点となる $x=r$ を正しく求め、三角関数の性質（補角・余角の公式）を利用して結果を整理する処理能力が問われている。