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九州大学 1977年理系第4問解説

方針・初手

(1) は与えられた関数を2回微分し、第2次導関数の符号変化を調べることで変曲点を特定する。
(2) は線分 $AB$ の方程式を求め、曲線①との上下関係を把握したうえで、定積分を用いて面積 $S_1$ を計算する。
(3) は $\triangle OAC$ の面積 $S_2$ を立式し、点 $A$ において直線と曲線が接するという条件から $\alpha$ に関する等式を導出する。これを $S_1 - S_2$ の式に代入して値を求める。

解法1

(1)

与えられた曲線の方程式は $y = \cos^2 x$ である。これを $x$ について微分すると、

$$y' = 2\cos x (-\sin x) = -\sin 2x$$

さらに微分して第2次導関数を求めると、

$$y'' = -2\cos 2x$$

変曲点は $y'' = 0$ となる点であり、その前後で $y''$ の符号が変化する。$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $y'' = 0$ となる $x$ を探す。

$$-2\cos 2x = 0$$

$$2x = \frac{\pi}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{4}$$

$x = \frac{\pi}{4}$ の前後で $2x$ は $\frac{\pi}{2}$ をまたぐため、$\cos 2x$ の符号は正から負へと変化し、$y''$ の符号は負から正へと変化する。したがって、この点は変曲点である。

このときの $y$ 座標は、

$$y = \cos^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$$

よって、求める変曲点の座標は $\left( \frac{\pi}{4}, \frac{1}{2} \right)$ である。

(2)

点 $B$ の座標は $(0, 1)$ であり、これは曲線①の $y$ 切片に一致する。点 $A(\alpha, \cos^2 \alpha)$ と点 $B(0, 1)$ を通る直線 $AB$ の方程式を求める。直線の傾きは、

$$\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\alpha - 0} = \frac{-\sin^2 \alpha}{\alpha}$$

よって、直線 $AB$ の方程式は、

$$y = -\frac{\sin^2 \alpha}{\alpha} x + 1$$

区間 $0 < x < \alpha$ における曲線①と直線 $AB$ の上下関係を調べる。差の関数 $f(x)$ を、

$$f(x) = \cos^2 x - \left( -\frac{\sin^2 \alpha}{\alpha} x + 1 \right) = -\sin^2 x + \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha} x$$

とする。$f'(x) = -\sin 2x + \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha}$ であり、$x \to +0$ における微分係数は $f'(0) = \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha} > 0$ となる。これは、原点付近において曲線①が直線 $AB$ よりも上側にあることを意味する。線分 $AB$ と曲線①が $A, B$ 以外に共有点を持たないという条件から、区間 $0 < x < \alpha$ 全体で曲線①は直線 $AB$ の上側にある。

したがって、面積 $S_1$ は以下の定積分で求められる。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_0^\alpha \left\{ \cos^2 x - \left( -\frac{\sin^2 \alpha}{\alpha} x + 1 \right) \right\} dx \\ &= \int_0^\alpha \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha} x - 1 \right) dx \\ &= \int_0^\alpha \left( \frac{\cos 2x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha} x \right) dx \\ &= \left[ \frac{\sin 2x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\sin^2 \alpha}{2\alpha} x^2 \right]_0^\alpha \\ &= \frac{\sin 2\alpha}{4} - \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha \sin^2 \alpha}{2} \\ &= \frac{\sin 2\alpha}{4} - \frac{\alpha}{2}(1 - \sin^2 \alpha) \\ &= \frac{\sin 2\alpha}{4} - \frac{\alpha}{2} \cos^2 \alpha \end{aligned}$$

(3)

点 $A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足 $C$ の座標は $(\alpha, 0)$ である。 $\triangle OAC$ の底辺を $OC$、高さを $AC$ とみると、その面積 $S_2$ は、

$$S_2 = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{\alpha}{2} \cos^2 \alpha$$

これより、$S_1 - S_2$ は次のように表される。

$$\begin{aligned} S_1 - S_2 &= \left( \frac{\sin 2\alpha}{4} - \frac{\alpha}{2} \cos^2 \alpha \right) - \frac{\alpha}{2} \cos^2 \alpha \\ &= \frac{\sin 2\alpha}{4} - \alpha \cos^2 \alpha \end{aligned}$$

次に、直線 $AB$ が点 $A$ において曲線①と接する条件を考える。これは、点 $A$ における曲線①の接線の傾きと、直線 $AB$ の傾きが等しくなることと同値である。(1) より曲線①の導関数は $y' = -\sin 2x$ であるため、点 $A$ における接線の傾きは $-\sin 2\alpha$ となる。これと直線 $AB$ の傾きが等しいので、

$$-\sin 2\alpha = -\frac{\sin^2 \alpha}{\alpha}$$

$$2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha}$$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \alpha > 0$ であるから、両辺を $\sin \alpha$ で割って整理すると、

$$2\cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$$

$$\sin \alpha = 2\alpha \cos \alpha$$

この関係式を用いて $S_1 - S_2$ の値を求める。

$$\begin{aligned} S_1 - S_2 &= \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{4} - \alpha \cos^2 \alpha \\ &= \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{2} - \alpha \cos^2 \alpha \end{aligned}$$

ここで $\sin \alpha = 2\alpha \cos \alpha$ を代入すると、

$$\begin{aligned} S_1 - S_2 &= \frac{(2\alpha \cos \alpha) \cos \alpha}{2} - \alpha \cos^2 \alpha \\ &= \alpha \cos^2 \alpha - \alpha \cos^2 \alpha \\ &= 0 \end{aligned}$$

解説

(2) において、線分 $AB$ と曲線①の上下関係を判断する際、直線の式から曲線の式を引いた関数の原点での微分係数を調べることで、グラフの形を正確に描かなくても厳密に上下関係を示すことができる。
(3) の接する条件は、「点 $A$ における接線が点 $B$ を通る」という形で立式しても、同じ関係式 $\sin \alpha = 2\alpha \cos \alpha$ を得ることができる。最終的にきれいな値に落ち着くため、計算過程が正しいことの確信を持ちやすい。