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東京工業大学 1984年理系第5問解説

方針・初手

2曲線の交点の $x$ 座標を求め、その点における接線の方程式を導出する。交点の $x$ 座標は具体的な角度として求まらないため、文字 $\alpha$ とおき、$\sin \alpha$ や $\cos \alpha$ の関係式を利用して計算を進める。面積は定積分を用いて、曲線と $x$ 軸で囲まれた部分から接線が作る直角三角形の面積を引くことで求める。

解法1

$x$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ である。2つの曲線 $y=\tan x$ と $y=\cos x$ の交点の $x$ 座標を求めるため、$\tan x = \cos x$ を解く。交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおくと、

$$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha $$

$$ \sin \alpha = \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$

整理して、

$$ \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1 = 0 $$

$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $-1 < \sin \alpha < 1$ であるから、

$$ \sin \alpha = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} $$

このとき $0 < \sin \alpha < 1$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ を満たすため、交点は第1象限にある。また、$\cos^2 \alpha = \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。

次に、曲線 $y=\tan x$ について導関数は $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ である。$x=\alpha$ における接線 $l$ は、接点の座標が $(\alpha, \tan \alpha)$ であり、傾きが $\frac{1}{\cos^2 \alpha}$ となるため、その方程式は以下となる。

$$ y - \tan \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} (x - \alpha) $$

この接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求める。$y=0$ を代入し、$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ を用いて整理する。

$$ -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} (x - \alpha) $$

$$ x - \alpha = -\sin \alpha \cos \alpha $$

$$ x = \alpha - \sin \alpha \cos \alpha $$

ここで、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ において $\alpha > \sin \alpha > \sin \alpha \cos \alpha$ であるから、$x$ 切片は正の値をとる。したがって、接線 $l$ は $x$ 軸と正の部分で交わる。

第1象限において、曲線 $y=\tan x$ は $y'' = \frac{2\sin x}{\cos^3 x} > 0$ より下に凸であるため、接線 $l$ は曲線の図形の下側に位置する。求める面積 $S$ は、曲線 $y=\tan x$、$x$ 軸、直線 $x=\alpha$ で囲まれる図形の面積から、接線 $l$、$x$ 軸、直線 $x=\alpha$ で囲まれる直角三角形の面積を引いたものになる。

$$ S = \int_0^\alpha \tan x \, dx - \frac{1}{2} \cdot \sin \alpha \cos \alpha \cdot \tan \alpha $$

右辺第1項の定積分を計算する。

$$ \int_0^\alpha \tan x \, dx = \Big[ -\log(\cos x) \Big]_0^\alpha = -\log(\cos \alpha) $$

ここで、$\cos^2 \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ であり、$\cos \alpha > 0$ であるから、

$$ -\log(\cos \alpha) = -\frac{1}{2}\log(\cos^2 \alpha) = -\frac{1}{2}\log\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) $$

右辺第2項の三角形の面積を計算する。$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ より、

$$ \frac{1}{2} \sin \alpha \cos \alpha \tan \alpha = \frac{1}{2} \sin^2 \alpha $$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ を代入して、

$$ \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{4} $$

以上より、求める面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) - \frac{3-\sqrt{5}}{4} $$

解説

方程式 $\tan x = \cos x$ は具体的な角度を解に持たないため、交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおき、$\sin \alpha$ や $\cos \alpha$ の値を用いて計算を押し通す手法が問われている。$\alpha$ のまま定積分や三角形の面積を計算し、最後に $\alpha$ の三角比の値を代入することでスムーズに解くことができる。また、面積の立式においては、接線が曲線の下側にくることをグラフの凹凸（$y'' > 0$）で確認しておくと、論理的な隙のない解答になる。