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九州大学 1985年理系第5問解説

方針・初手

$n$ 回目の試行結果から $(n+1)$ 回目の試行結果への遷移を考え、確率の連立漸化式を立式する。問題のルールに従い、「$n$ 回目に白球が出た場合」と「$n$ 回目に赤球が出た場合」で $(n+1)$ 回目にどのつぼから球を取り出すかが変わることに着目し、場合分けして確率を計算する。 (2)の漸化式の解法では、確率の和 $p_n + q_n = 1$ を利用するか、和と差の数列を考えることで一般項を容易に求めることができる。

解法1

(1)

$n$ 回目の試行で白球を取り出す確率は $p_n$、赤球を取り出す確率は $q_n$ である。 $(n+1)$ 回目に白球を取り出すのは、以下の2つの事象のいずれかが起こる場合であり、これらは互いに排反である。

$n$ 回目に白球を取り出し（確率 $p_n$）、次につぼ $A$ から白球を取り出す（確率 $\frac{a}{a+b}$）
$n$ 回目に赤球を取り出し（確率 $q_n$）、次につぼ $B$ から白球を取り出す（確率 $\frac{b}{a+b}$）

したがって、$p_{n+1}$ は次のように表される。

$$p_{n+1} = \frac{a}{a+b} p_n + \frac{b}{a+b} q_n$$

同様に、$(n+1)$ 回目に赤球を取り出すのは、以下の2つの事象のいずれかが起こる場合である。

$n$ 回目に白球を取り出し、次につぼ $A$ から赤球を取り出す
$n$ 回目に赤球を取り出し、次につぼ $B$ から赤球を取り出す

したがって、$q_{n+1}$ は次のように表される。

$$q_{n+1} = \frac{b}{a+b} p_n + \frac{a}{a+b} q_n$$

以上を行列を用いて表すと、次のようになる。

$$\begin{pmatrix} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{a+b} & \frac{b}{a+b} \\ \frac{b}{a+b} & \frac{a}{a+b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$$

これを与えられた式と比較し、行列 $A$ は次のように求まる。

$$A = \begin{pmatrix} \frac{a}{a+b} & \frac{b}{a+b} \\ \frac{b}{a+b} & \frac{a}{a+b} \end{pmatrix}$$

(2)

1回目の試行では、まずつぼ $A$ から球を取り出すので、$p_1$ と $q_1$ はつぼ $A$ からそれぞれ白球、赤球を取り出す確率である。

$$p_1 = \frac{a}{a+b}, \quad q_1 = \frac{b}{a+b}$$

(1)で求めた連立漸化式について、2式の和と差をとる。まず、辺々を加えると次のようになる。

$$p_{n+1} + q_{n+1} = \frac{a+b}{a+b} p_n + \frac{a+b}{a+b} q_n = p_n + q_n$$

数列 $\{p_n + q_n\}$ はすべての項が等しく、初項が $p_1 + q_1 = 1$ であるから、すべての自然数 $n$ について以下が成り立つ。

$$p_n + q_n = 1$$

次に、辺々を引くと次のようになる。

$$p_{n+1} - q_{n+1} = \frac{a-b}{a+b} p_n - \frac{a-b}{a+b} q_n = \frac{a-b}{a+b} (p_n - q_n)$$

よって、数列 $\{p_n - q_n\}$ は、初項 $p_1 - q_1$、公比 $\frac{a-b}{a+b}$ の等比数列である。初項は

$$p_1 - q_1 = \frac{a}{a+b} - \frac{b}{a+b} = \frac{a-b}{a+b}$$

であるから、一般項は次のように表される。

$$p_n - q_n = \frac{a-b}{a+b} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^{n-1} = \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^n$$

$p_n + q_n = 1$ と $p_n - q_n = \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^n$ の辺々を加えて2で割ることにより、$p_n$ が求まる。

$$p_n = \frac{1}{2} \left\{ 1 + \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^n \right\}$$

次に、極限 $\lim_{n \to \infty} p_n$ を考える。 $a > 0, b > 0$ であるから、$a+b > a-b$ かつ $a+b > -(a-b)$ が成り立つ。したがって、公比 $\frac{a-b}{a+b}$ の取りうる範囲は次のようになる。

$$-1 < \frac{a-b}{a+b} < 1$$

このとき、$n \to \infty$ とすると $\left( \frac{a-b}{a+b} \right)^n \to 0$ となる。よって、極限値は次のように求まる。

$$\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2} (1 + 0) = \frac{1}{2}$$

解法2

(2)について、$p_n$ の隣接2項間漸化式に帰着させる別解を示す。

毎回の試行で取り出される球は白球か赤球のいずれかであるため、常に $q_n = 1 - p_n$ が成り立つ。これを(1)で求めた $p_{n+1}$ の漸化式に代入する。

$$p_{n+1} = \frac{a}{a+b} p_n + \frac{b}{a+b} (1 - p_n)$$

整理すると、次の隣接2項間漸化式を得る。

$$p_{n+1} = \frac{a-b}{a+b} p_n + \frac{b}{a+b}$$

この漸化式の特性方程式 $\alpha = \frac{a-b}{a+b} \alpha + \frac{b}{a+b}$ を解くと、$\alpha = \frac{1}{2}$ を得る。これを用いて漸化式を変形すると、次のようになる。

$$p_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{a-b}{a+b} \left( p_n - \frac{1}{2} \right)$$

したがって、数列 $\{p_n - \frac{1}{2}\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{2}$、公比 $\frac{a-b}{a+b}$ の等比数列である。 1回目の試行はつぼ $A$ から球を取り出すので、$p_1 = \frac{a}{a+b}$ であり、初項は次のように計算できる。

$$p_1 - \frac{1}{2} = \frac{a}{a+b} - \frac{1}{2} = \frac{2a - (a+b)}{2(a+b)} = \frac{a-b}{2(a+b)}$$

ゆえに、一般項は

$$p_n - \frac{1}{2} = \frac{a-b}{2(a+b)} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^{n-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^n$$

$$p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^n$$

極限については解法1と同様であり、$-1 < \frac{a-b}{a+b} < 1$ から極限値は $\frac{1}{2}$ となる。

解説

状態推移と確率（マルコフ連鎖）に関する典型的な問題である。直前の結果のみによって次の確率分布が定まる構造を見抜き、推移行列や連立漸化式を正しく立てられるかが問われている。本問のように推移行列が対称な形をしている場合、確率の和 $p_n + q_n = 1$ と差 $p_n - q_n$ の数列を考えると見通しよく計算を進めることができる。また、極限を求める際に公比の絶対値が1より小さいことを明記する必要がある点に注意したい。