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九州大学 1987年文系第3問解説

方針・初手

与えられた1次変換を表す行列を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ とおく。

条件 $P_n = f(P_{n-1})$ より、位置ベクトルについての漸化式 $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}$ が成り立つ。これを繰り返し用いることで、$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$ と表せる。

(1) は、特定の初期値に対する計算を行うことで、行列 $A$ の固有ベクトルと固有値の性質に気づくための誘導である。 (2) は、(1) の結果を利用し、任意の初期値ベクトルを2つの固有ベクトルの線形結合で表すことで $n$ 乗の計算を容易にするか、あるいは行列 $A$ を対角化して $A^n$ を直接計算することで解決する。

解法1

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ とおくと、条件より

$$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}$$

が成り立つ。これを繰り返し用いると

$$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$$

となる。

(1)

$P_0$ が $(1, 1)$ のとき、

$$A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ a+b \end{pmatrix} = (a+b)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

が成り立つ。したがって、

$$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (a+b)^n\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a+b)^n \\ (a+b)^n \end{pmatrix}$$

となる。よって、$x_n = (a+b)^n, \ y_n = (a+b)^n$ である。

$P_0$ が $(1, -1)$ のとき、

$$A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ -a+b \end{pmatrix} = (a-b)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

が成り立つ。したがって、

$$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = (a-b)^n\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a-b)^n \\ -(a-b)^n \end{pmatrix}$$

となる。よって、$x_n = (a-b)^n, \ y_n = -(a-b)^n$ である。

(2)

ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ は互いに一次独立であるから、任意の初期値ベクトル $\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$ は、実数 $s, t$ を用いて

$$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = s\vec{u} + t\vec{v} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

とただ一通りに表すことができる。この式を成分で比較すると

$$s+t = x_0, \quad s-t = y_0$$

となる。これを $s, t$ について解くと

$$s = \frac{x_0+y_0}{2}, \quad t = \frac{x_0-y_0}{2}$$

を得る。したがって、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} &= A^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} \\ &= A^n \left\{ s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} \\ &= s A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t A^n \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

ここで、(1) の結果を用いると

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} &= s(a+b)^n\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t(a-b)^n\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{x_0+y_0}{2}(a+b)^n\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{x_0-y_0}{2}(a-b)^n\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{x_0+y_0}{2}(a+b)^n + \frac{x_0-y_0}{2}(a-b)^n \\ \frac{x_0+y_0}{2}(a+b)^n - \frac{x_0-y_0}{2}(a-b)^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。各成分を比較して $x_n, y_n$ が求まる。

解法2

(1) については解法1と同様である。以下、(2) の別解を示す。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ を対角化して $A^n$ を求める。

$A$ の固有方程式は

$$\begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ b & a-\lambda \end{vmatrix} = (a-\lambda)^2 - b^2 = 0$$

これを解いて、固有値は $\lambda = a+b, a-b$ である。

$\lambda = a+b$ に属する固有ベクトルの一つは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ であり、$\lambda = a-b$ に属する固有ベクトルの一つは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。

ここで、正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ を用いると、逆行列は $P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ となり、$A$ は次のように対角化される。

$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}$$

よって、$n$ 乗を計算すると

$$\begin{aligned} A^n &= P \begin{pmatrix} (a+b)^n & 0 \\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (a+b)^n & 0 \\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (a+b)^n & (a-b)^n \\ (a+b)^n & -(a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (a+b)^n+(a-b)^n & (a+b)^n-(a-b)^n \\ (a+b)^n-(a-b)^n & (a+b)^n+(a-b)^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。ゆえに

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} &= A^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (a+b)^n+(a-b)^n & (a+b)^n-(a-b)^n \\ (a+b)^n-(a-b)^n & (a+b)^n+(a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \{(a+b)^n+(a-b)^n\}x_0 + \{(a+b)^n-(a-b)^n\}y_0 \\ \{(a+b)^n-(a-b)^n\}x_0 + \{(a+b)^n+(a-b)^n\}y_0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{x_0+y_0}{2}(a+b)^n + \frac{x_0-y_0}{2}(a-b)^n \\ \frac{x_0+y_0}{2}(a+b)^n - \frac{x_0-y_0}{2}(a-b)^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となり、成分を比較して $x_n, y_n$ が求まる。